XXXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ x,y,z $ są takimi liczbami nieujemnymi, że $ x + y + z = 1 $, to

\[<br />
\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} \leq \frac{3}{4}.<br />
\]

Rozwiązanie

Jeśli $ a $, $ b $, $ c $ są dowolnymi liczbami dodatnimi, to na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną

\[<br />
(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 3 \sqrt[3]{abc} \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}}=9.<br />
\]

Przyjmując $ a = x+1 $, $ b=y+1 $, $ c = z+1 $ dostajemy

\[<br />
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \geq<br />
\frac{9}{(x+1)+(y+1)+(z+1)} = \frac{9}{4}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} =<br />
\left(1-\frac{1}{x+1}\right) + \left(1-\frac{1}{y+1}\right) +<br />
\left(1-\frac{1}{z+1}\right) \leq 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź