XXXVII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ wielomian

\[<br />
(x^4-1)(x^3-x^2+x-1)^k + (x+1)x^{4k-1}<br />
\]

dzieli się przez $ x^5+1 $.

Rozwiązanie

Niech $ P_k $ będzie rozważanym wielomianem. Przyjmijmy oznaczenia

\[<br />
(1) \qquad p(x) = x^3-x^2+x-1, \ q(x)=x^4-p(x)<br />
\]

i zauważmy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
& (2) \qquad  x^4-1  = (x+1)p(x),\\<br />
& (3) \qquad  x^5+1  = (x+1)q(x),\\<br />
& (4) \qquad  P_k(x) = (x^4-1)p(x)^k + (x + 1)x^{4k-1},\\<br />
\textrm{czyli}\\<br />
& (5) \qquad  P_k(x) = (x+1)(p(x)^{k+1}+x^{4k-1}).<br />
\end{split}<br />
\]

Podzielności wielomianu $ P_k $ przez $ x^5+1 $:

Indukcja względem $ k $. Dla $ k = 1 $ mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
P_1(x) = (x^4-1)(x^3-x^2+x-1) + (x+1)x^3 =\\<br />
= x^7-x^6+x^5 + x^2-x+1 = (x^2-x+1)(x^5+1).<br />
\end{split}<br />
\]

Z wzorów (3) i (5) widać, że podzielność $ P_k $ przez $ x^5 + 1 $ jest równoważna podzielności wielomianu $ Q_k (x) = p(x)^{k+1}+x^{4k-1} $ przez wielomian $ q $. Wystarczy teraz zauważyć, że

\[<br />
Q_{k+1}(x) - x^4Q_k(x) = (p(x)^{k+2} + x^{4k+3}) - x^4(p(x)^{k+1}+x^{4k-1}) =<br />
\]
\[<br />
= p(x)^{k+1} (p(x)-x^4) = -p(x)^{k+1} q(x);<br />
\]

jeśli więc wielomian $ q $ dzieli $ Q_k $, to dzieli też $ Q_{k+1} $. Kończy to przejście indukcyjne i dowodzi tezy zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź