LIX OM - II -Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ ABC $, w którym $ AC = BC $. Punkt $ D $ leży na boku $ AB $ tego trójkąta, przy czym $ AD < BD $. Punkt
$ E $ jest symetryczny do punktu $ A $ względem prostej $ CD $. Wykazać, że

\[<br />
\frac{AC}{CD} = \frac{BE}{BD-AD}<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ F $ punkt symetryczny do $ A $ względem punktu $ D $ (rys. 3). Na mocy nierówności $ AD <BD $ punkt $ F $
znajduje się wewnątrz odcinka AB.

Ponieważ $ AD = DF $ oraz punkty $ A $ i $ E $ są symetryczne względem prostej $ CD $, więc stosując twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Talesa stwierdzamy, że $ CD || FE $. Stąd w szczególności wynika, że proste $ CD $ i $ BE $ nie są równoległe,
zatem przecinają się one w pewnym punkcie $ G $. Ponadto

om59_2r_img_4.jpg

\[<br />
(1) \qquad \measuredangle BFE = \measuredangle BDG = \measuredangle CDA.<br />
\]

Dalej, zauważmy, że $ CA = CB = CE $, punkty $ A $, $ B $ i $ E $ leżą więc na okręgu o środku w punkcie $ C $. Wobec tego otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad \measuredangle ABE = \measuredangle ACE = \measuredangle ACD.<br />
\]

Łącząc równości (1) i (2) dochodzimy do wniosku, że trójkąty $ ACD $ i $ EBF $ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Zatem

\[<br />
\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{BF}=\frac{BE}{BD-AD}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź