XXXVII OM - I - Zadanie 4

W dany okrąg wpisujemy trójkąt ostrokątny $ ABC $. Niech $ A_1, B_1, C_1 $ będą odpowiednio środkami łuków $ BC, CA, AB $ zawartych w półokręgach. Udowodnić, że pole trójkąta $ ABC $ nie jest większe od pola trójkąta $ A_1B_1C_1 $ oraz, że pola te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia:

  • $ O $ i $ R $ - środek i długość promienia danego okręgu
  • $ S $ i $ S_1 $ - pola trójkątów $ ABC $ i $ A_1B_1C_1 $
  • $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ - miary kątów $ \measuredangle A $, $ \measuredangle B $, $ \measuredangle C $ trójkąta $ ABC $
  • $ \alpha_1 $, $ \beta_1 $, $ \gamma_1 $ - miary kątów $ \measuredangle A_1 $, $ \measuredangle B_1 $, $ \measuredangle C_1 $ trójkąta $ A_1B_1C_1 $.

Z założenia ostrokątności trójkąta $ ABC $ wynika, że wierzchołki rozważanych trójkątów leżą na okręgu naprzemiennie, w porządku cyklicznym $ A $, $ C_1 $, $ B $, $ A_1 $, $ C $, $ B_1 $, jak to przedstawia rysunek 1. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
2\alpha_1 = 2|\measuredangle & C_1A_1B_1| = |\measuredangle C_1OB_1| = |\measuredangle C_1OA| + |\measuredangle AOB_1| =\\<br />
& = \frac{1}{2} |\measuredangle AOB|+ \frac{1}{2} |\measuredangle COA| = \gamma+\beta.<br />
\end{split}<br />
\]

Analogiczne równości zachodzą dla miar pozostałych kątów. Mamy więc

\[<br />
\alpha_1 = \frac{\beta+\gamma}{2},\<br />
\beta_1 = \frac{\gamma+\alpha}{2},\<br />
\gamma_1 = \frac{\alpha+\beta}{2}.<br />
\]

om37_1r_img_1.jpg
Dowód nierówności $ S_1 \geq S $ (wraz z dyskusją zagadnienia, kiedy nierówność przechodzi w równość):

Korzystamy z wzoru

\[<br />
(2) \qquad S = \textrm{pole} (BOC) + \textrm{pole} (COA) + \textrm{pole} (AOB) = \frac{1}{2}R^2 (\sin 2 \alpha +\sin 2 \beta + \sin 2\gamma).<br />
\]

Analogiczny wzór dla trójkąta $ A_1B_1C_1 $ przybiera po uwzględnieniu zależności (1) postać

\[<br />
(3) \qquad S_1 =\frac{1}{2} R^2(\sin (\beta+\gamma) + \sin (\gamma+\alpha) + \sin (\alpha+\beta)).<br />
\]

Zauważmy teraz, że

\[<br />
\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta = 2\sin (\beta+\gamma)cos(\alpha-\beta) \leq 2\sin (\alpha+\beta) = 2\sin \gamma,<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko, gdy $ \alpha= \beta $. Analogicznie,

\[<br />
\begin{split}<br />
\sin 2\beta + \sin 2\gamma \leq 2\sin \alpha,\\<br />
\sin 2\gamma + \sin 2 \alpha \leq 2 \sin \beta<br />
\end{split}<br />
\]

(jednoczesna równość tylko dla $ \beta = \gamma = \alpha $). Dodając stronami te trzy nierówności i mnożąc stronami przez $ R^2/4 $ dostajemy, z uwagi na (2) i (3), żądaną nierówność $ S \leq S_1 $. Koniecznym i dostatecznym warunkiem zachodzenia równości jest $ \alpha=\beta= \gamma $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź