XXXVII OM - I - Zadanie 7

Rozwiązać równanie

\[<br />
x=\sqrt{b-x}\sqrt{c-x} + \sqrt{c-x}\sqrt{a-x} + \sqrt{a-x}\sqrt{b-x},<br />
\]

gdzie $ a, b, c $ są danymi liczbami dodatnimi.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia: $ m = \min(a, b, c) $,

\[<br />
f(x) = \sqrt{b-x} \sqrt{c-x} + \sqrt{c-x} \sqrt{a-x} + \sqrt{a-x} \sqrt{b-x} -x.<br />
\]

Za dziedzinę funkcji $ f $ przyjmujemy przedział $ \langle 0; m \rangle $ (bo jedynie dla $ x \leq m $ wszystkie wyrażenia podpierwiastkowe są nieujemne oraz jedynie wśród nieujemnych liczb $ x $ należy szukać rozwiązania równania). Dane w zadaniu równanie przybiera postać

\[<br />
(1) \qquad f(x) = 0.<br />
\]

Funkcja $ f $ jest malejąca (gdy $ x $ rośnie, każdy składnik maleje). Zatem $ f(x) \geq f(m) $ dla $ x \in \langle 0; m \rangle $, a więc warunkiem koniecznym istnienia rozwiązania równania (1) w przedziale $ \langle 0; m \rangle $ jest spełnienie nierówności

\[<br />
(2) \qquad f(m) \leq 0.<br />
\]

Gdy najmniejszą z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest $ a $, warunek (2) przybiera postać

\[<br />
0 \geq f(a) = \sqrt{(b-a)(c-a)}-a;<br />
\]

równoważnie, $ a^2 \geq (b-a)(c-a) $, czyli $ bc \leq a(b+c) $, lub jeszcze inaczej:

\[<br />
(3) \qquad \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.<br />
\]

Ogólnie, koniecznym warunkiem istnienia rozwiązania rozważanego równania jest jednoczesne spełnienie nierówności (3) oraz dwóch analogicznych nierówności powstałych z (3) przez cykliczną zamianę symboli $ a $, $ b $, $ c $. Tę koniunkcję można zapisać w postaci nierówności podwójnej

\[<br />
(4) \qquad<br />
\left| \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right| \leq \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.<br />
\]

Przyjmijmy teraz, że warunek (4) jest spełniony. Przypuśćmy, że liczba $ x \in \langle 0; m \rangle $ spełnia równanie (1). Przekształcamy to równanie, jak następuje:

\[<br />
x - \sqrt{b-x} \sqrt{c-x} = \sqrt{a-x} (\sqrt{b-x} + \sqrt{c-x});<br />
\]

podnosimy stronami do kwadratu:

\[<br />
x^2+ (b-x)(c-x) - 2x \sqrt{b-x} \sqrt{c-x} = (a-x) (b+c-2x+2\sqrt{b-x}  \sqrt{c-x})<br />
\]

i dalej

\[<br />
2x^2 - (b+c)x + bc = a(b+c-2x) + 2a \sqrt{b-x} \sqrt{c-x} - x (b+c-2x),<br />
\]

czyli

\[<br />
\sqrt{b-x}\sqrt{c-x} = \frac{bc-ab-ca+2ax}{2a} = \frac{bc}{2a} - \frac{b+c}{2} + x.<br />
\]

Z uwagi na symetrię ról $ a $, $ b $, $ c $ mamy także równości

\[<br />
\sqrt{c-x}\sqrt{a-x} = \frac{ca}{2b} - \frac{c+a}{2} + x,\<br />
\sqrt{a-x}\sqrt{b-x} =\frac{ab}{2c} - \frac{a+b}{2} + x.<br />
\]

Podstawiamy otrzymane wyrażenia do równania (w jego pierwotnej postaci):

\[<br />
x = 3x+ \frac{bc}{2a} + \frac{ca}{2b} + \frac{ab}{2c} - (a+b+c),<br />
\]

a stąd

\[<br />
(5) \qquad<br />
x = \frac{1}{2} (a + b + c) - \frac{1}{4} \left(\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b}+ \frac{ab}{c} \right).<br />
\]

Pozostaje sprawdzić, że liczba $ x $ dana wzorem (5) istotnie spełnia rozważane równanie. Z wzoru (5) otrzymujemy równość

\[<br />
\begin{split}<br />
a-x & = \frac{1}{2}(a-b-c) + \frac{1}{4} abc \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) = \\<br />
& = \frac{1}{4} abc \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{bc} - \frac{2}{ca} - \frac{2}{ab} \right) = \\<br />
& =\frac{1}{4} abc \left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right)^2<br />
\end{split}<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
b-x = \frac{1}{4} abc \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right),\<br />
c-x = \frac{1}{4} abc \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right).<br />
\]

Ponieważ założyliśmy, że warunek (4) jest spełniony, zatem liczby

\[<br />
(6) \qquad<br />
p=\frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a},\<br />
q=\frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b},\<br />
r=\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c}<br />
\]

są nieujemne. Wobec tego

\[<br />
\sqrt{a-x} = \frac{1}{2} \sqrt{abc}p,\<br />
\sqrt{b-x} = \frac{1}{2} \sqrt{abc}q,\<br />
\sqrt{c-x} = \frac{1}{2} \sqrt{abc}r<br />
\]

i w konsekwencji

\[<br />
(7) \qquad f(x) = \frac{1}{4} abc (qr+rp+pq)-x,<br />
\]

gdzie zgodnie z (5)

\[<br />
x=\frac{1}{4} \left( b+c- \frac{bc}{a} + c+a- \frac{ca}{b} +a+b-\frac{ab}{c} \right) =<br />
\frac{1}{4} \left( \frac{p}{a}+ \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \right).<br />
\]

Ale wobec (6) mamy

\[<br />
\frac{1}{a} = \frac{q+r}{2}, \<br />
\frac{1}{b} = \frac{r+p}{2}, \<br />
\frac{1}{c} = \frac{p+q}{2},<br />
\]

co po podstawieniu do poprzedniej równości daje

\[<br />
x=\frac{1}{4} abc \left( \frac{p(q+r)}{2} + \frac{q(r+p)}{2} + \frac{r(p+q)}{2} \right) =<br />
\frac{1}{4} abc \left( qr+rp+pq \right).<br />
\]

Tak więc prawa strona (7) równa się zeru. Znaczy to, że $ f(x) = 0 $, czyli że liczba $ x $ spełnia rozważane równanie.

Ostatecznie więc, jeśli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają warunek (4), to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem (5); jeśli warunek (4) nie jest spełniony, równanie nie ma rozwiązań.

Uwaga. Sprawdzenie, że liczba $ x $ dana wzorem (5) istotnie jest rozwiązaniem równania, okazało się dość uciążliwe. Można uniknąć tego sprawdzania, korzystając z metod analizy matematycznej. Rozważana tu funkcja $ f $ jest ciągła w przedziale $ \langle 0; m \rangle $, a więc ma {\it własność Darboux}: przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości leżące pomiędzy $ f(0) $ i $ f(m) $. Oczywiście $ f(0) = \sqrt{bc} + \sqrt{ca} + \sqrt{ab} > 0 $. Zakładając, że spełniony jest warunek (4) a tym samym i warunek (2): $ f(m) \leq 0 $, wnosimy, że istnieje w przedziale $ \langle 0; m \rangle $ liczba $ x $, dla której $ f(x) = 0 $. Wcześniej pokazaliśmy, że liczba taka (jeśli istnieje) musi być dana wzorem (5).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź