XXXVII OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że ciąg $ (\sin n) $ nie ma granicy.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę ciągi przedziałów otwartych

\[<br />
I_k = \left( 2k\pi - \frac{3}{4} \pi;\ 2k \pi - \frac{1}{4} \pi \right),\<br />
J_k = \left( 2k\pi + \frac{1}{4} \pi;\ 2k \pi + \frac{3}{4} \pi \right)<br />
\]

($ k = 1, 2, 3, \ldots $). Długość każdego z nich (równa $ \pi/2 $) jest większa od $ 1 $. Wobec tego w każdym przedziale $ I_k $ leży liczba naturalna $ m_k $ (jeśli są dwie, wybierzmy jedną z nich, na przykład mniejszą, i ją oznaczmy przez $ m_k $). Podobnie w każdym przedziale $ J_k $ znajdziemy liczbę naturalną $ n_k $. Określiliśmy w ten sposób dwa rosnące ciągi liczb naturalnych $ (m_k) $ i $ (n_k) $. Na każdym przedziale $ I_k $ funkcja sinus przyjmuje wartości mniejsze od $ -\sqrt{1/2} $, a na każdym przedziale $ J_k $ wartości większe od $ \sqrt{1/2} $. Zatem

\[<br />
\sin n_k-\sin m_k > \sqrt{\frac{1}{2}} - \left(- \sqrt{\frac{1}{2}} \right)= \sqrt{2} \ \textrm{dla} \ k = 1, 2, 3, \ldots,<br />
\]

skąd wynika, że nie istnieje granica ciągu $ (\sin n) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź