XXXVII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy kostką najpierw raz, a następnie tyle razy, ile oczek wypadło przy pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną sumy wyrzuconych oczek {łącznie z pierwszym rzutem).

Rozwiązanie

Niech $ X_0 $ oznacza liczbę oczek wyrzuconych w pierwszym rzucie. Jeśli $ X_0 = j $, to wykonuje się $ j $ dalszych rzutów. Oznaczmy ich wyniki kolejno przez $ X_1,\ldots,X_j $ i przyjmijmy $ X_k = 0 $ dla $ k >j $. Rozważana w zadaniu
zmienna losowa jest wtedy sumą $ X = \sum_{k=0}^6 X_k $.

Ustalmy $ k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $ i zauważmy, że $ X_k = 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ X_0 < k $ (czyli gdy nie dochodzi do wykonania rzutu reprezentowanego przez zmienną losową $ X_k $). Zatem

\[<br />
P(X_k = 0) = P(X_0<k) = \frac{1}{6} (k- 1).<br />
\]

Każdą z sześciu możliwych niezerowych wartości zmienna $ X_k $ przyjmuje z jednakowym prawdopodobieństwem. Wobec tego

\[<br />
P(X_k =j) =\frac{1}{6} (1 - P(X_k = 0)) = \frac{1}{6} \left(1 - \frac{1}{6} (k - 1)\right) = \frac{1}{36} (7 -k)<br />
\]

dla $ j = 1, \ldots, 6 $. Stąd

\[<br />
E(X_k) = \sum_{k=0}^6 jP(X_k =j) = \frac{1}{36} (7 - k)(1+2 +3+4+5+6) =<br />
\frac{7}{12}  (7-k)<br />
\]

dla $ k = 1, \ldots, 6 $. Ponieważ

\[<br />
E(X_0) = \frac{1}{6} (1+2+3+4+5+6) = \frac{7}{2},<br />
\]

więc ostatecznie wartość oczekiwana rozważanej zmiennej losowej $ X $ wynosi

\[<br />
E(X) = \sum_{k=0}^6 E(X_k) = \frac{7}{2} + \sum_{k=1}^6 \frac{7}{12} (7 - k) =<br />
= \frac{7}{2} + \frac{7}{12} (6+5+4+3+2+1) = \frac{63}{4}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź