XXXVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że jeżeli prosta łącząca środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu przechodzi przez środek kuli wpisanej w ten czworościan, to przechodzi również przez środek kuli opisanej na tym czworościanie.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat. Dany jest wypukły kąt dwuścienny utworzony przez półpłaszczyzny $ \alpha $ i $ \beta $ o wspólnej krawędzi $ l $. Niech $ \pi $ będzie półpłaszczyzną dwusieczną tego kąta dwuściennego. Przypuśćmy, że punkt $ P \in \pi $ jest środkiem odcinka $ AB $ o końcach $ A \in \alpha $, $ B \in \beta $ (przy czym $ A $, $ B $, $ P \in l $). Niech $ O $ oznacza rzut prostokątny punktu $ P $ na prostą $ l $. Wówczas proste $ OP $ i $ AB $ są prostopadłe.

Dowód lematu. Proste $ l $ i $ AB $ są skośne. Istnieje zatem dokładnie jedna płaszczyzna $ \sigma $ zawierająca prostą $ AB $ i równoległa do $ l $. Przecina ona półpłaszczyzny $ \alpha $, $ \beta $ i $ \pi $ wzdłuż prostych $ \alpha \cap \sigma $, $ \beta \cap \sigma $, $ \pi \cap \sigma $ równoległych do $ l $ (rysunek 5). Proste $ \pi \cap \sigma $ i $ OP $ są więc prostopadłe.
om37_1r_img_5.jpg
Rozważmy trójkąt $ OST $ położony w płaszczyźnie prostopadłej do $ l $, o wierzchołkach $ S \in \alpha \cap \sigma $, $ T \in \beta \cap \sigma $. Trójkąty prostokątne $ ASP $ i $ BTP $ mają równe kąty ($ |\measuredangle SPA| = |\measuredangle TPB| $ jako kąty wierzchołkowe) i równe przeciwprostokątne ($ |PA| = |PB| $) - są więc przystające i wobec tego $ |PS| = |PT| $. Zatem odcinek $ OP $ jest środkową w trójkącie $ OST $. Jest on jednocześnie dwusieczną kąta $ SOT $ (bo półpłaszczyzna $ \pi $ połowi kąt dwuścienny między $ \alpha $ i $ \beta $). Wynika stąd, że ten odcinek jest w trójkącie $ OST $ również wysokością, a więc $ OP \bot ST $. Prosta $ OP $, jako prostopadła do prostych $ ST $ i $ \pi \cap \sigma $ położonych w płaszczyźnie $ \sigma $, jest prostopadła do tej płaszczyzny - a zatem i do prostej $ AB $.

Dowód tezy zadania. Niech $ P $ i $ Q $ będą środkami krawędzi $ AB $ i $ CD $ czworościanu $ ABCD $ (rysunek 6) i niech zgodnie z założeniem zadania prosta $ PQ $ przechodzi przez środek kuli wpisanej w czworościan. Wówczas półpłaszczyzna $ CDP^\rightarrow $ połowi kąt dwuścienny utworzony przez ściany $ CDA $ i $ CDB $. Oznaczając przez $ O $ rzut prostokątny punktu $ P $ na prostą $ l = CD $ mamy na mocy lematu $ OP \bot AB $. Analogicznie, półpłaszczyzną $ ABQ^\rightarrow $ połowi kąt dwuścienny między ścianami $ ABC $ i $ ABD $, i z lematu $ QR \dot CD $, gdzie $ R $ jest rzutem punktu $ Q $ na prostą $ AB $.
om37_1r_img_6.jpg
Tak więc każda z prostych $ OP $ i $ QR $ jest prostopadła zarówno do prostej $ AB $, jak i do $ CD $. Ale dla dowolnej pary prostych skośnych istnieje tylko jedna prosta przecinająca je obydwie i do nich prostopadła. W konsekwencji proste $ OP $ i $ QR $ pokrywają się. Znaczy to, że prosta $ PQ $ jest prostopadła do prostych $ AB $ i $ CD $. Zatem płaszczyzny $ CDP $ i $ ABQ $ są płaszczyznami symetralnymi odcinków $ AB $ i $ CD $ (odpowiednio). Środek kuli opisanej musi należeć do obu tych płaszczyzn, a więc i do ich krawędzi przecięcia, czyli prostej $ PQ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź