XXXVII OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ciągłe w zerze i takie, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br />
2f(2x) = f(x) + x.<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, ciągła w punkcie $ 0 $, spełnia dane równanie funkcyjne.

W celu pozbycia się drugiego składnika po prawej stronie równania wprowadzamy funkcję pomocniczą $ h(x) =f(x)-\frac{1}{3}x $; jest ona również ciągła w punkcie $ 0 $. Wstawiając $ f(x) = h(x) + \frac{1}{3} x $, $ f(2x) = h(2x) + \frac{2}{3} x $ do rozważanego równania, sprowadzamy je do postaci

\[<br />
2h(2x) | + \frac{4}{3}x = h(x)+ \frac{1}{3}x+x,<br />
\]

czyli

\[<br />
(1) \qquad h(2x) = \frac{1}{2} h(x) \ \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Weźmy dowolną liczbę $ x_0 \in \mathbb{R} $. Podstawiając w (1) $ x = 2^{-n}x_0 $, $ n = 0, 1, 2, \ldots $, dostajemy

\[<br />
h(2^{-(n-1)} x_0)= \frac{1}{2} h(2^{-n}x_0),<br />
\]

skąd przez indukcję

\[<br />
(2) \qquad h(x_0) = 2^{-n}h(2^{-n}x_0) \ \textrm{dla} \ n = 0, 1, 2, \ldots.<br />
\]

Z ciągłości $ h $ w punkcie $ 0 $ wynika, że ciąg liczb otrzymanych po prawej stronie (2) dąży do $ 0 $ przy $ n \to \infty $. A to oznacza, że $ h(x_0) = 0 $. Ponieważ punkt $ x_0 $ był wybfany dowolnie, funkcja $ h $ równa się tożsamościowo zeru. Zatem,

\[<br />
f(x) = \frac{1}{3} x \ \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R}<br />
\]

Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że funkcja ta istotnie jest rozwiązaniem danego w zadaniu równania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź