XXXVII OM - II - Zadanie 4

Liczby naturalne $ x, y, z $, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie

\[<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}<br />
\]

Dowieść, że $ x + y $ jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Równanie przepisujemy w postaci

\[<br />
(1) \qquad (x+y)z = xy.<br />
\]

Niech $ k $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $ i $ y $: $ k = NWD (x,y) $. Mamy więc

\[<br />
x = km,\ y = kn,\ NWD (m, n) = 1.<br />
\]

Zauważmy, że

\[<br />
(2) \qquad NWD (m + n, mn) = 1,\        NWD (k, z) = 1.<br />
\]

Pierwsza z równości (2) wynika z tego, że $ NWD (m, n) = 1 $ (każdy dzielnik pierwszy iloczynu $ mn $ musi dzielić $ m $ lub $ n $, więc nie może dzielić sumy $ (m + n) $; druga równość (2) jest konsekwencją założenia $ NWD (x, y, z) = 1 $.

Podstawiając $ x = km $, $ y = kn $ do (1) i dzieląc stronami przez $ k $ dostajemy

\[<br />
(m + n)z = kmn,<br />
\]

a stąd, na mocy (2),

\[<br />
m + n = k,\      z = mn.<br />
\]

Ostatecznie więc

\[<br />
x + y = k(m + n) = k^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź