XXXVII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ f $ nie równy tożsamościowo zeru spełnia dla każdego rzeczywistego $ x $ równość $ f(x)f(x + 3) = f(x^2 + x + 3) $, to nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewien wielomian $ f $ spełniający podane założenia ma pierwiastki rzeczywiste. Niech $ x_0 $ będzie największym z nich. Liczba $ y_0 = x_0^2 + x_0+ 3 > x_0 $ także jest pierwiastkiem wielomianu $ f $, bo

\[<br />
f(y_0) =f(x_0)f(x_0 + 3) = 0<br />
\]

- wbrew temu, że $ x_0 $ jest największym pierwiastkiem. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że $ f $ nie może mieć pierwiastków rzeczywistych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź