XXXVII OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ wybrano punkt $ A' $ na boku $ BC $, punkt $ B' $ na boku $ AC $, punkt $ C' $ na boku $ AB $ tak, że proste $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie, czyli równoważnie $ |BA'| \cdot |CB'| \cdot |AC'| = |CA'| \cdot |AB'| \cdot |BC'| $. Udowodnić, że pole trójkąta $ A'B'C' $ jest nie większe od $ 1/4 $ pola trójkąta $ ABC $.

Rozwiązanie

Uwaga. Równoważność między podanymi w założeniach warunkami jest treścią twierdzenia Cevy. Pokażemy dwa sposoby rozwiązania; w pierwszym wykorzystamy równość podanych iloczynów (nie korzystając bezpośrednio
z tego, żc trzy rozważane proste mają punkt wspólny), a w drugim sposobie postąpimy przeciwnie.
om37_2r_img_8.jpg
Wprowadźmy oznaczenia (jak na rysunku 8):

\[<br />
\begin{split}<br />
& |BC| = a,\ |CA| = b,\ |AB| = c,\\<br />
& |BA'| = x,\ |CB'| =y,\ |AC'| = z\\<br />
& (\textrm{więc} \  |A'C|=a-x,\  |B'A| = b-y,\  |C'B| = c-z),\\<br />
& S = \textrm{pole trójkąta} \ ABC,\ S' = \textrm{pole trójkąta}\ A'B'C,\\<br />
& S1 = \textrm{pole}\ (AB'C'),\ S_2 = \textrm{pole}\ (BC'A'),\ S_3 = \textrm{pole}\ (CA'B').<br />
\end{split}<br />
\]

Zgodnie z założeniem,

\[<br />
\begin{split}<br />
(1) \qquad xyz & = (a-x)(b-y)(c-z) =\\<br />
& = abc- (abz + bcx + cay) + (ayz + bzx + cxy)-xyz,<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
(2) \qquad abc-2xyz = (abz+bcx+cay)- (ayz+bzx+cxy).<br />
\]

Zauważmy dalej, że

\[<br />
S-1 = \frac{1}{2}(b - y)z \sin \measuredangle A, \ S = \frac{1}{2} bc \sin \measuredangle A,<br />
\]

skąd

\[<br />
S_1 = \frac{(b-y)z}{bc} \cdot S<br />
\]

i podobnie (przez cykliczne przestawienie symboli)

\[<br />
S_2 = \frac{(c-z)x}{ca} \cdot S, \ S_3 = \frac{(a-x)y}{ab} \cdot S.<br />
\]

Zatem

\[<br />
S-S' = S_1+S_2+S_3 = \frac{S}{abc} [a(b- y)z+b(c-z)x+c(a-x)y]<br />
\]

Ale wyrażenie w nawiasie kwadratowym to dokładnie prawa strona równości (2). Mamy więc

\[<br />
S-S' = \frac{S}{abc} (abc - 2xyz) = S - \frac{2xyz}{abc} \cdot S,<br />
\]

czyli

\[<br />
(3) \qquad \frac{S'}{S} = \frac{2xyz}{abc}.<br />
\]

Korzystając jeszcze raz ze wzoru (1) i stosując nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną (pary liczb) dostajemy

\[<br />
\begin{split}<br />
xyz = \sqrt{xyz(a - x)(b - y)(c - z)} & =\sqrt{x(a - x)} \cdot \sqrt{y(b - y)} \cdot \sqrt{z(c - z)} \leq \\<br />
& \frac{x+(a - x)}{2} \cdot \frac{y+(b - y)}{2} \cdot \frac{z+(c  -z)}{2}=\frac{abc}{8}.<br />
\end{split}<br />
\]

W połączeniu z wzorem (3) daje to żądaną nierówność $ S' \leq S/4 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź