XXXVII OM - III - Zadanie 1

Kwadrat o boku długości 1 pokryto $ m^2 $ prostokątami. Dowieść, że obwód pewnego z tych prostokątów jest większy lub równy $ 4/m $.

Rozwiązanie

Pole $ P = ab $ i obwód $ p = 2(a+b) $ prostokąta o bokach długości $ a $, $ b $ związane są nierównością

\[<br />
p^2 = 4(a + b)^2 = 4((a - b)^2 + 4ab) \geq 16P.<br />
\]

Gdyby więc każdy z rozważanych $ m^2 $ prostokątów miał obwód mniejszy od
$ 4/m $, to pole każdego z nich byłoby mniejsze od $ \frac{1}{16} \cdot \left( \frac{4}{m} \right)^2 $ (czyli od $ 1/m^2 $), a więc suma ich pól byłaby mniejsza od $ 1 $ - wbrew założeniu, że pokrywają one kwadrat jednostkowy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź