XXXVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć maksimum objętości czworościanów mających trzy ściany o polu 1.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie czworościanem, w którym $ S_A = S_B = S_D = 1 $; przez $ S_X $ oznaczamy tu pole ściany nie zawierającej wierzchołka $ X $ ($ X = A, B, C, D $). Dalej, oznaczmy

\[<br />
\begin{split}<br />
& a  = |BC|, \ b=|CA|,\ y= |\measuredangle BCA|,\\<br />
& u = \textrm{odległość wierzchołka}\ D \textrm{od prostej}\ BC,\\<br />
& v = \textrm{odległość wierzchołka}\ D \textrm{od prostej}\ CA,\\<br />
& h = \textrm{odległość wierzchołka}\ D \textrm{od płaszczyzny}\ ABC,\\<br />
& \varphi = \textrm{miara kąta dwuściennego między płaszczyznami}\ ABC \ \textrm{i} \ BCD,\\<br />
& \psi = \textrm{miara kąta dwuściennego między płaszczyznami}\ ABC \ \textrm{i} \ CAD,\\<br />
& V = \textrm{objętość czworościanu}\ ABCD<br />
\end{split}<br />
\]

(rysunek 10 przedstawia siatkę powierzchni czworościanu $ ABCD $ rozwiniętej na płaszczyźnie $ ABC $).
om37_3r_img_10.jpg
om37_3r_img_11.jpg
Zachodzą związki

\[<br />
(1) \qquad V = \frac{1}{3}S_Dh = \frac{1}{3}h,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad h = u \sin \varphi = v \sin \psi,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad 1 = S_A = \frac{1}{2} au,\    1 = S_B = \frac{1}{2} bv,\<br />
    1 = S_D=\frac{1}{2} ab \sin \gamma<br />
\]

Z ostatnich równości wynika, że

\[<br />
uv = \frac{2}{a} \cdot \frac{2}{b} = 2 \sin \gamma,<br />
\]

co po podstawieniu do (1) i uwzględnieniu (2) daje

\[<br />
V = \frac{1}{3} \sqrt{h \cdot h} = \frac{1}{3} \sqrt{u\sin \varphi<br />
\cdot v\sin \psi}  = \frac{1}{3} \sqrt{2\sin \gamma \sin \varphi<br />
\sin \psi}  \leq \frac{1}{3} \sqrt{2}.<br />
\]

Na to, by otrzymana nierówność stała się równością potrzeba i wystarcza, żeby $ \gamma = \varphi = \psi =90^\circ $ - przy jednoczesnym spełnieniu związków (3). To zaś ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy krawędzie $ CA $, $ CB $, $ CD $ są wzajemnie prostopadłe (rysunek 11) oraz długość każdej z nich wynosi $ \sqrt{2} $.

Szukane maksimum objętości $ V $ równa się więc $ \sqrt{2}/3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź