XXXVII OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć te liczby całkowite nieujemne $ n $, dla których istnieje taki wielomian $ f $ stopnia $ n $ o współczynnikach rzeczywistych, że $ f(x) > f'(x) $ dla każdego rzeczywistego $ x $.

Rozwiązanie

Wykażemy, że żądaną własność mają wszystkie liczby parzyste (i tylko one).

Jeśli $ f $ jest wielomianem stopnia $ n > 0 $ o podanej własności, to wówczas

\[<br />
g(x)=f(x)-f'(x)<br />
\]

jest także wielomianem stopnia $ n $, przy czym $ g (x) \geq 0 $ dla $ x \in \mathbb{R} $. Ponieważ każdy wielomian stopnia nieparzystego (o współczynnikach rzeczywistych) przyjmuje również wartości ujemne, $ n $ musi być liczbą parzystą.

Gdy $ n = 0 $, to oczywiście wielomian $ f(x) = 1 $ spełnia warunek $ f(x)>f'(x) = 0 $.

Gdy $ n $ jest liczbą parzystą dodatnią, bierzemy wielomian $ h(x) = x^n $. Różnica

\[<br />
h(x)-h'(x) = x^n - nx^{n-1} = x^{n-1}(x - n)<br />
\]

jest dodatnia poza przedziałem $ \langle 0; n \rangle $, a dla $ x \in \langle 0; n \rangle $ jej wartość bezwzględna nie przekracza $ n^{n-1} \cdot n = n^n $. Zatem wielomian $ f(x) = h(x)+n^n $ spełnia żądany warunek

\[<br />
f(x)-f'(x) = n^n+h(x) - h'(x) \geq 0 \ \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź