XXXVI OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczba całkowita podzielna przez 3 jest sumą pięciu kwadratów liczb całkowitych, to co najmniej dwa z tych kwadratów są podzielne przez 9.

Rozwiązanie

Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez $ 3 $ daje przy dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 1 $. Jeśli więc pewna liczba jest sumą pięciu kwadratów i żaden z tych kwadratów nie dzieli się przez $ 3 $, to dana liczba daje przy dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 2 $; jeśli zaś tylko jeden z tych kwadratów dzieli się przez $ 3 $, to dana liczba daje przy dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 1 $. Skoro, z założenia, liczba ta jest podzielna przez $ 3 $, to co najmniej dwa kwadraty będące składnikami w rozważanej sumie są kwadratami liczb podzielnych przez $ 3 $ - dzielą się więc przez $ 9 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź