XXXVI OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli w trójkącie proste prostopadłe do boków, poprowadzone przez punkty przecięcia tych boków z dwusiecznymi przeciwległych kątótw przecinają się w jednym punkcie, to trójkąt jest równoramienny.

Rozwiązanie

Niech w trójkącie $ ABC $ punkty $ A_1 $, $ B_1 $ , $ C_1 $ będą odpowiednio punktami przecięcia boków $ \overline{BC} $, $ \overline{CA} $, $ \overline{AB} $ przez dwusieczne przeciwległych kątów. Przypuśćmy, że prostopadłe do boków poprowadzone przez te punkty przecinają się w punkcie $ K $ (rysunek 1). Oznaczając $ |AB| = c $, $ |BC| = a $, $ |CA|=b $, $ |A_1K| =p $, $ |B_1K = q $, $ |C_1K| = r $, $ |A_1B| = x $, $ |B_1C| = y $, $ |C_A|= z $ mamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa

\[<br />
(b-y)^2+q^2 = z^2+r^2, \quad (c-z)^2+r^2 = x^2+p^2,\quad (a-x)^2+p^2 = y^2+q^2.<br />
\]

Dodając te równości stronami dostajemy

\[<br />
(*) \qquad a^2+b^2+c^2-2(ax+by+cz) = 0.<br />
\]

Załóżmy więc, że $ a > 0 $ i przyjmijmy $ u = \sqrt[3]{x} $, $ v = \sqrt[3]{y} $ , $ \alpha = \sqrt[3]{a} $, $ \beta = \sqrt[3]{b} $. Dany w zadaniu układ równań przybiera postać

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
& \sqrt{u^6+u^4v^2} + \sqrt{v^6+u^2v^4} = \alpha^3\\<br />
& u^3+v^3+3 \beta uv = \beta^3<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

czyli równoważnie

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
& u^2 \sqrt{u^2+v^2}+ v^2\sqrt{v^2+u^2} = \alpha^3\\<br />
& u^3 + v^3 + 3\beta uv = \beta^3<br />
\end{split}<br />
\right\}<br />
\]

lub jeszcze prościej

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
& u^2+v^2 = \alpha^2\\<br />
& u^3+v^3+3\beta uv-\beta^3 = 0.<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

Oznaczmy lewą stronę ostatniego równania przez $ L (u,v) $ i przekształćmy, jak następuje:

\[<br />
\begin{split}<br />
L(u,v) & = (u+v)^3-3u^2v-3uv^2+3\beta uv-\beta^3= (u+v)^3- \beta^3-3uv(u+v-\beta) =\\<br />
& = (u+v-\beta)((u+v)^2+ (u+v)\beta+\beta^2-3uv) =\\<br />
& = (u+v-\beta)(u^2+v^2+\beta^2-uv+u\beta+v\beta) =\\<br />
& = \frac{1}{2} (u+v-\beta)((u-v)^2 +  (u+\beta)^2+ (v+\beta)^2).<br />
\end{split}<br />
\]

Otrzymaliśmy rozkład wyrażenia $ L(u,v) $ na iloczyn dwóch czynników, zatem rozważany układ równań (którego drugim równaniem jest $ L(u,v) = 0 $) jest równoważny alternatywie układów

\[<br />
\begin{array}{cc}<br />
(I)<br />
\begin{array}{rl}<br />
u^2+v^2 & = \alpha^2\\<br />
u+v & = \beta<br />
\end{array}<br />
&<br />
(II)<br />
\begin{array}{rl}<br />
u^2+v^2 & = \alpha^2\\<br />
(u-v)^2+(u+\beta)^2 + (v+\beta)^2 & = 0<br />
\end{array}<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie układu (I). Podnosząc drugie równanie stronami do kwadratu i uwzględniając równanie pierwsze dostajemy $ \alpha^2+2uv = \beta^2 $, skąd $ v = (\beta^2-\alpha^2)/2 $. Mając daną sumę i iloczyn liczb $ u $ i $ v $ znajdujemy te liczby jako pierwiastki trójmianu kwadratowego $ t^2-\beta t+ (\beta^2- \alpha^2)/2 $. Rozwiązanie istnieje, gdy wyróżnik tego trójmianu $ \Delta = 2\alpha^2-\beta^2 $ jest nieujemny, czyli gdy $ |b| \leq \sqrt{8}a $ (piszemy $ a $ bez znaku wartości bezwzględnej, bo przyjęliśmy, że $ a \geq 0 $). Rozwiązaniem są wówczas liczby $ u = (\beta \pm \sqrt{\Delta})/2 $, $ v = (\beta \mp \sqrt{\Delta})/2 $, co po powróceniu do wyjściowych oznaczeń daje

\[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
(*)<br />
\left\{<br />
\begin{array}{rl}<br />
x & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} + \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3\\<br />
y & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} - \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
&<br />
\textrm{lub}<br />
&<br />
\left\{<br />
\begin{array}{rl}<br />
x & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} - \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3\\<br />
y & = \frac{1}{8} \left( \sqrt[3]{b} + \sqrt{2 \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} \right)^3.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\end{array}<br />
\]

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania; są one identyczne, gdy $ \Delta = 0 $, czyli gdy $ |b| = \sqrt{8}a $; wówczas wzory (*) przybierają prostą postać $ x = y = b/8 $.

Rozwiązanie układu (II). Z drugiego równania dostajemy $ u=v=-\beta $, co po podstawieniu do pierwszego równania daje $ 2\beta^2 = \alpha^2 $, czyli $ |b| = a/\sqrt{8} $. Jest to warunek na istnienie rozwiązania układu (II). W oznaczeniach wyjściowych rozwiązanie to wyraża się wzorem $ x = y = - b $.

Rekapitulacja. Dany w zadaniu układ równań ma:

  • zero rozwiązań, gdy $ |b| > \sqrt{8}a $ (objęte tym są wymienione na wstępie przypadki $ a <0 $ i $ a \ne 0 = b $);
  • jedno rozwiązanie $ x = y = b/8 $, gdy $ |b| = \sqrt{8}a $ (obejmuje to przypadek $ a = b = 0 $);
  • dwa rozwiązania dane wzorami (*), gdy $ |b| < \sqrt{8}a $, $ |b| \ne a/\sqrt{8} $;
  • trzy rozwiązania: dwa dane wzorami (*) oraz trzecie $ x = y = -b $, gdy $ |b|=a/ \sqrt{8} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź