XXXVI OM - I - Zadanie 5

Dane są ciągi nieskończone liczb rzeczywistych $ (x_j) $, $ (y_j) $. Niech

\[<br />
z_n = \frac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots x_ny_1}{n} \quad\text{ dla } n=1,2,\ldots .<br />
\]

Udowodnić, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej $ m $ zachodzi $ z_j = 0 $ dla $ j < m $ oraz $ z_m = 1 $, to istnieją takie liczby naturalne $ p, q $, że $ x_py_q = m $.

Rozwiązanie

Gdyby któryś z ciągów $ (x_j) $, $ (y_j) $ składał się z samych zer, to i wszystkie wyrazy ciągu $ (z_n) $ byłyby zerami, wbrew temu, że $ z_m = 1 $. Zatem w każdym z tych ciągów są wyrazy niezerowe. Niech $ p $ oraz $ q $ oznaczają najmniejsze numery takie, że $ x_p \neq 0 $ oraz $ y_q \neq 0 $. Pokażemy, że liczby $ p $ i $ q $ mają własność żądaną w zadaniu.

Dla każdego $ n $, z definicji, liczba $ nz_n $ jest sumą składników postaci $ x_iy_j $ gdzie $ i+j = n+1 $. Gdy $ n+1 <p + q $, każdy składnik tej sumy jest zerem (gdyż $ i < p $ lub $ j < q $), a więc $ z_n = 0 $. Gdy $ n+1 = p+q $, w sumie tej jest dokładnie jeden składnik niezerowy, mianowicie $ x_py_q $, a zatem $ nz_n = (p+q-1)z_{p+q-1}=x_py_p\neq 0 $. Ale najwcześniejszym niezerowym. wyrazem ciągu $ (z_n) $ jest $ z_m = 1 $. Stąd $ m = p+q-1 $ i $ x_py_g = mz_m = m $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź