XXXVI OM - I - Zadanie 6

Obliczyć długości równoległych boków trapezu znając długości pozostałych boków i przekątnych.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie rozważanym trapezem, $ AB\parallel CD $, $ |AB| = a $, $ |BC| = b $, $ |CD| = c $, $ |DA| = d $, $ |AC| = p $, $ |BD| = q $ (rysunek 2). Mając dane $ b $, $ d $, $ p $, $ q $ należy znaleźć $ a $ i $ c $.
om36_1r_img_2.jpg
Zauważmy przede wszystkim, że jeśli $ p = q $, to wówczas musi być $ b = d <p $ i w tym przypadku zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania: istnieje nieskończenie wiele trapezów równoramiennych o długości ramienia $ b $ i długości przekątnej $ p $. Dokładniej, jeśli $ a $ jest dowolną liczbą spełniającą nierówność $ p-b <a < p+b $, to istnieje trójkąt $ ABC $, w którym $ |AB| = a $, $ |BC| = b $, $ |CA| = p $ i żądany trapez $ ABCD $ otrzymujemy biorąc jako wierzchołek $ D $ obraz punktu $ C $ w symetrii osiowej względem symetralnej odcinka $ AB $. Oznaczając przez $ C $ rzut punktu $ C $ na prostą $ AB $ i przyjmując $ x= |AC'| $, $ y = |BC'| $, $ h = |CC'| $ widzimy (rysunek 3), że jeśli $ C' \in \overline{AB}| $, to $ a = x-y $, $ c = x+y $, a jeśli $ C' \not \in \overline{AB}| $ to $ a = x-y $, $ c = x+y $. W obu przypadkach $ ac = x^2-y^2 = (p^2-h^2)-(b^2-h^2) = p^2-b^2 $. Tak więc, gdy $ b= d < p = q $, rozwiązaniem zadania jest dowolna para liczb $ a,\,c $ taka, że $ p -b < a < p+b $, $ c = (p^2-b^2)/a $.
om36_1r_img_3.jpg
W dalszym ciągu zakładajmy więc, że $ p \neq q $ (trapez nie jest równoramienny). Trójkąty $ ABC $ i $ ABD $ mają wspólną podstawę i równe wysokości, a zatem i równe pola. Wyrażamy te pola przez długości boków, korzystając z wzoru Herona:

\[<br />
\begin{split}<br />
16 S^2_{ABC} &= (a+b+p)(-a+b+p)(a-b+p)(a+b-p) = \\<br />
&= ((b+p)^2-a^2)(a^2-(b-p)^2) =\\<br />
&= -a^4+a^2((b+p)^2+(b-p)^2)-(b+p)^2(b-p)^2 =\\<br />
& = -a4+2a^2(b^2+p^2)-(b^2-p^2)^2<br />
\end{split}<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
16 S^2_{ABD}= -a+2a^2(d^2+q^2)-(d^2-q^2)^2.<br />
\]

Przyrównując prawe strony otrzymanych równości widzimy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
2a^2(b^2-d^2+p^2-q^2) = (b^2-p^2)^2-(d^2-q^2)^2 =\\<br />
\quad = (b^2-d^2-p^2+ q^2)(b^2-d^2-p^2- q^2).<br />
\end{split}<br />
\]

Gdyby wyrażenie w nawiasie po lewej stronie było zerem, to któryś z czynników prawej strony musiałby być zerem; mielibyśmy więc alternatywę układów równań:

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
b^2-d^2+p^2-q^2=0\\<br />
b^2-d^2-p^2+q^2=0<br />
\end{split}\right. \quad \textrm{lub} \quad<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
b^2-q^2+p^2-d^2=0\\<br />
b^2-q^2-p^2+d^2=0<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

W pierwszym przypadku, dodając i odejmując stronami równania układu, dostajemy $ b = d $ i $ p = q $, wbrew uprzedniemu założeniu. W drugim przypadku dostajemy $ b = q $ i $ d = p $, co nie jest możliwe (punkty $ C $ i $ D $ musiałyby się pokrywać). Zatem $ b^2-d^2+p^2-q^2 \neq 0 $, skąd

\[<br />
a^2 = \frac{(b^2-d^2-p^2+q^2) (b^2+d^2-p^2-q^2)}{2(b^2-d^2+p^2-q^2)}.<br />
\]

Lewa strona jest liczbą dodatnią, więc prawa też, tak, że ostatecznie

\[<br />
a =   \sqrt{\frac{(b^2-d^2-p^2+q^2) (b^2+d^2-p^2-q^2)}{2(b^2-d^2+p^2-q^2)}}.<br />
\]

Wartość $ c $ znajdujemy zamieniając miejscami $ p $ i $ q $ w otrzymanym wzorze na $ a $ (odpowiada to powtórzeniu przeprowadzonego rozumowania, wychodząc od równości pól trójkątów $ CDA $ i $ CDB $, o bokach $ c $, $ d $, $ p $ i $ c $, $ b $, $ q $, odpowiednio). Tak więc

\[<br />
c = \sqrt{\frac{(b^2-d^2+p^2-q^2) (b^2+d^2-p^2-q^2)}{2(b^2-d^2-p^2+q^2)}}.<br />
\]

Uwaga. Ze sformułowania treści zadania wynika milczące założenie, że rozważany trapez w ogóle istnieje. Nie ma więc potrzeby poszukiwania warunków, jakie powinny spełniać wielkości dane $ b $, $ d $, $ p $, $ q $, by znalezione rozwiązanie miało sens geometryczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź