XXXVI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że jeśli $ (a_n) $ jest takim ciągiem liczb rzeczywistych, że $ a_{n+2}=|a_{n+1}|-a_n $ dla $ n = 1,2,\ldots $, to $ a_{k+9} = a_k $ dla $ k = 1,2,\ldots $.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę przekształcenie $ F $ płaszczyzny w siebie dane wzorem $ F(x,y) = (y,|y|-x) $. Ustalmy liczbę dodatnią $ a $. Niech $ I_0 $ będzie odcinkiem o końcach $ (0,-a) $ i $ (-a,0) $, niech $ I_1 $ będzie obrazem odcinka $ I_0 $ w przekształceniu $ F $ i dalej, indukcyjnie, niech $ I_n = F(I_{n-1}) $. Odcinek $ I_0 $ ma przedstawienie parametryczne

\[<br />
I_0 : x = -t,  \  y = -a+t, \   0 \leq t \leq a.<br />
\]

Działając na punkt $ (x,y) = (-t, -a+t) $ odwzorowaniem $ F $ otrzymujemy

\[<br />
F(x,y) = (y,|y|-x) = (-a+t, |-a+t\ + t) = (-a+t, a)<br />
\]

i wobec tego $ I_1 $ jest odcinkiem o przedstawieniu parametrycznym

\[<br />
I_1: x = -a+t,\    y = a,\    0 \leq t \leq a.<br />
\]

W ten sam sposób sprawdzamy, że kolejne zbiory $ I_n $ są odcinkami o następujących przedstawieniach parametrycznych ($ t $ jest stale parametrem przebiegającym przedział $ \langle 0;a \rangle $:

\[<br />
\begin{split}<br />
& I_2 : x = a, 		y = 2a-t\\<br />
& I_3 : x = 2a-t,	  	y = a-t \\<br />
& I_4 : x = a-t,	   y = -a\\<br />
& I_5 : x = -a, 	   y = t\\<br />
& I_6 : x = t,	 		y = a+t \\<br />
& I_7 : x = a+t,	   y = a\\<br />
& I_8 : x = a, 		y = -t\\<br />
& I_9 : x = -t,       = -a+t.<br />
\end{split}<br />
\]

Tak więc $ I_9 $ pokrywa się z $ I_0 $. Suma odcinków $ I_0, \ldots, I_8 $ tworzy łamaną zamkniętą, którą oznaczymy przez $ Ł_a $. Interpretując parametr $ t $ jako czas widzimy, że gdy punkt $ P = (x,y) $ przebiega ruchem jednostajnym odcinek $ I_n $ w kierunku oznaczonym na rysunku 4 strzałką, to jego obraz $ F(P) $ przebiega ruchem jednostajnym odcinek $ I_{n+1} $. Oznacza to, że punkt $ F(P) $ dzieli odcinek $ I_{n+1} $ w tym samym stosunku, w którym $ P $ dzieli $ I_n $. Stąd i z zaobserwowanej cykliczności $ (I_9 = I_0) $ wynika, że każdy punkt łamanej $ Ł_a $ po zastosowaniu przekształcenia $ F^9 $ (dziewięciokrotnego złożenia przekształcenia $ F $) wróci na swoje miejsce.
om36_1r_img_4.jpg
Wszystkie łamane $ Ł_a $ (dla różnych wartości $ a $) są zbiorami jednokładnymi na płaszczyźnie, a ich suma wypełnia całą płaszczyznę bez punktu $ (0,0) $, który oczywiście jest punktem stałym przekształcenia $ F $. Zatem $ F^0 $ jest przekształceniem tożsamościowym.

Stąd natychmiast wynika teza zadania: biorąc jako $ x $ i $ y $ dwa kolejne wyrazy ciągu $ (a_n) $ widzimy, że

\[<br />
F(a_n,a_{n + 1}) = (a_{n+1}, |a_{n+1}|-a_n) =(a_{n+1}, a_{n+2})<br />
\]

i wobec tego $ F^9(a_n,a_{n+1}) = (a_{n+9}, a_{n+10}) $, a ponieważ $ F^9 $ jest identycznością, więc $ a_{n+9} = a_n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź