LIX OM - III -Zadanie 2

Funkcja $ f(x, y, z) $ trzech zmiennych rzeczywistych spełnia dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c, d, e  $zależność

\[<br />
f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e.<br />
\]

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \dots, x_n $ ($ n \geqslant 5 $) prawdziwa jest równość

\[<br />
f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+\dots +f(x_n ,x_1 ,x_2 )= x_1 +x_2 + \dots +x_n .<br />
\]

Rozwiązanie

Podstawiając $ a = b = c = d = e = 0 $ w danym w treści zadania warunku dostajemy $ f(0, 0, 0) = 0 $.

Niech teraz $ s, t, u $ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
f (s, t, u)+ f (t, u, 0)+f (u, 0, 0)+f (0, 0,s)+f (0, s, t) &= s +t +u, \\<br />
f (0, t, u)+f (t, u, 0)+f (u, 0, 0)+f (0, 0, 0)+f (0, 0,t) &= t + u.<br />
\end{split}<br />
\]

Odejmując powyższe dwie równości stronami i wykorzystując udowodnioną wcześniej równość $ f (0, 0, 0) = 0 $ otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad f (s, t, u)= s +f (0, 0,t)- f (0, 0,s)+f (0, t, u)- f (0, s, t).<br />
\]

Wypisując równość (1) dla trójek $ (s, t, u)=(x_k ,x_{k+1},x_{k+2}) $ dla $ k =1, 2,\dots ,n $ (gdzie przyjmujemy
$ x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2 $) i sumując stronami uzyskanych w ten sposób $ n $ równości dostajemy tezę zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź