XXXVI OM - I - Zadanie 10

Znaleźć wzór na sumę

\[<br />
\tan x \cdot \tan 2x + \tan 2x \cdot \tan 3x + \ldots + \tan(n-1)x \cdot \tan nx.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy napisane wyrażenie przez $ T_n(x) $. Aby miało ono sens, liczby $ x $, $ 2x $, $ \ldots $, $ nx $ muszą należeć do dziedziny funkcji tangens, czyli muszą być spełnione warunki

\[<br />
kx \ne \left( m+ \frac{1}{2} \right)\pi \ \textrm{dla} \<br />
k=1,\ldots,n; \ m = 0,\pm 1,\pm 2,\ldots .<br />
\]

Przyjmijmy te warunki i załóżmy dodatkowo, że $ \tan x \ne 0 $, czyli $ x \ne m\pi $ $ (m = 0,\pm 1,\pm 2, \ldots) $. Dla każdej liczby naturalnej $ k $ mamy równość

\[<br />
\tan x = tan((k+1)x-kx) = \frac{\tan(k+1)x-\tan kx}{1+ \tan kx \cdot \tan (k+1)x},<br />
\]

skąd wobec zastrzeżenia, że $ \tan x \ne 0 $,

\[<br />
1+\tan kx \cdot \tan (k+1)x =\frac{\tan(k+1)x-\tan kx}{\tan kx}.<br />
\]

Przyjmując $ k = 1, \ldots,n-1 $ i dodając stronami $ n-1 $ otrzymanych równości dostajemy

\[<br />
(n-1)+ T_n(x) = \frac{\tan nx - \tan x}{\tan x},<br />
\]

czyli

\[<br />
T_n(x)= \frac{\tan nx}{\tan x} - n.<br />
\]

Jest to poszukiwany wzór - przy zastrzeżeniu, że $ x \ne m \pi $. Gdy $ x = m\pi $ ($ m $ całkowite), to oczywiście $ T_n (x) = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź