XXXVI OM - I - Zadanie 11

Podać przykład wielościanu wypukłego mającego 1985 ścian, wśród których są takie 993 ściany, że żadne dwie z nich nie mają wspólnej krawędzi.

Rozwiązanie

Można bez trudu uzyskać znacznie większą niż $ 993 $ liczbę ścian, i to nie ylko bez wspólnych krawędzi, ale w ogóle rozłącznych. Rozważmy w tym celu dowolny wielościan wypukły $ W $ mający $ 5 $ ścian i w wierzchołków; zakładamy przy tym, że żadne dwie ściany nie leżą w jednej płaszczyźnie, czyli że wszystkie kąty dwuścienne są mniejsze od kąta półpełnego. Dokonamy teraz operacji ,,odcięcia wierzchołków'': w pobliżu każdego wierzchołka prowadzimy płaszczyznę przecinającą wszystkie wychodzące z tego wierzchołka krawędzie w punktach odległych od wierzchołka o mniej niż $ 1/2 $ długości krawędzi; płaszczyzną tą odcinamy dany wierzchołek wraz z małym ostrosłupem. W wyniku tej operacji otrzymujemy wielościan wypukły $ W $ mający $ s + w $ ścian, bowiem każda ściana wielościanu $ W $, po obcięciu naroży, staje się ścianą wielościanu $ W $, a ponadto w miejsce każdego odciętego wierzchołka wielościanu $ W $ pojawi się dodatkowa ściana wielościanu $ W $ (podstawa odciętego ostrosłupa). Te ,,nowe'' ściany (a jest ich $ w $) są parami rozłączne.

Chodzi teraz o dobranie wartości $ s $ i $ w $ tak, żeby $ s+w = 1985 $, $ w \geq 993 $; wielościan $ W' $ będzie wtedy jednym z rozwiązań zadania. Weźmy jako wielościan $ W $ graniastosłup prawidłowy $ n $-kątny; ma on $ w = 2n $ wierzchołków i $ s = n+2 $ ścian. Dla $ n = 661 $ dostajemy $ s+w = 1985 $, $ w = 1322 $. Zatem wielościan $ W' $ powstały z $ W $ przez opisaną wyżej operację ,,odcięcia wierzchołków'' ma $ 1985 $ ścian, a wśród nich $ 1322 $ ściany parami rozłączne. Oczywiście spośród tych $ 1322 $ ścian można w dowolny sposób wybrać $ 993 $ ściany parami rozłączne, aby uczynić zadość warunkowi zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź