XXXVI OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br />
[\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1} + \sqrt{n} + \sqrt{n+1}].<br />
\]

Uwaga. $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

Rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że dla każdej liczby naturalnej $ n > 2 $ zachodzi nierówność podwójna

\[<br />
(*) \qquad \frac{2}{3}\sqrt{9n-1} < \sqrt{n-1} +\sqrt{n+1} < 2\sqrt{n}.<br />
\]

Podnosząc wszystkie człony do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną :

\[<br />
\frac{4}{9}(9n-1) < 2n + 2\sqrt{n^2-1} < 4n,<br />
\]

i ta z kolei jest równoważna następującej:

\[<br />
n - \frac{2}{9}< \sqrt{n^2-1} < n.<br />
\]

Prawa część ostatniej nierówności jest oczywista, lewa zaś przez podniesienie do kwadratu przybiera postać równoważną:

\[<br />
\frac{4}{9}n - \frac{4}{81} > 1,<br />
\]

czyli $ 36n > 85 $, co jest prawdą dla $ n > 2 $. Wykazaliśmy więc prawdziwość (*) dla $ n > 2 $.

Dodając do nierówności (*) oczywistą nierówność podwójną

\[<br />
\frac{1}{3}\sqrt{9n- 1} < \sqrt{n} \leq \sqrt{n}<br />
\]

otrzymujemy dla $ n > 2 $

\[<br />
(**) \qquad \sqrt{9n- 1} < \sqrt{n-1} +\sqrt{n}+ \sqrt{n+1} <3\sqrt{n}=\sqrt{9n}.<br />
\]

W przedziale otwartym między liczbami $ 9n- 1 $ i $ 9n $ nie ma liczby całkowitej; tym bardziej więc nie ma liczby całkowitej między $ \sqrt{9n- 1} $ i $ \sqrt{9n} $. Stąd i z (**) dostajemy dla $ n > 2 $ dowodzoną równość

\[<br />
(***) \qquad [\sqrt{9n-1}] = [\sqrt{n-1}+\sqrt{n} + \sqrt{n+1} ].<br />
\]

Pozostaje sprawdzić równość (***) dla $ n = 1 $ i $ n = 2 $. Dla $ n = 1 $: liczby $ \sqrt{8} $ oraz $ \sqrt{0}+ \sqrt{1}+ \sqrt{2} $ należą obie do przedziału $ (2;3) $. Dla $ n = 2 $: liczby $ \sqrt{17} $ oraz $ \sqrt{1}+ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ należą obie do przedziału $ (4;5) $. Stąd prawdziwość (***) dła wszystkich $ n $ naturalnych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź