XXXVI OM - II - Zadanie 1

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ wybrano punkt $ P $. Niech $ a, b, c $ będą odpowiednio długościami boków $ BC $, $ CA $, $ AB $, zaś $ x, y, z $ odległościami punktu $ P $ od wierzchołków $ B, C, A $. Dowieść, że jeżeli

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2 + xy + y^2 &= a^2 \\<br />
y^2 + yz + z^2 &= b^2 \\<br />
z^2 + zx + x^2 &= c^2,<br />
\end{split}<br />
\]

to

\[<br />
a^2 + ab + b^2 > c^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Z pierwszych dwóch równości danych w treści zadania wynika, wobec dodatniości liczb $ a $, $ b $, $ x $, $ y $, $ z $, że $ a = \sqrt{x^2+xy+y^2} > \sqrt{x^2} = x $ i podobnie $ b > z $. Stąd, na mocy trzeciej równości, $ c^2 = x^2+xz+z^2 < a^2+ +ab+b^2 $, co należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź