XXXVI OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że dla liczby naturalnej $ n > 2 $ liczba $ n! $ jest sumą $ n $ różnych swoich dzielników.

Rozwiązanie

Dowodzimy przez indukcję tezy nieco mocniejszej: Dla każdej liczby naturalnej $ n > 2 $ liczba $ n! $ jest sumą $ n $ różnych swoich dzielników, z których najmniejszy równa się $ 1 $. Dla $ n = 3 $ jest to prawda: $ 3! = 6 = 1+2+3 $. Załóżmy prawdziwość tej tezy dla pewnego $ n $:

\[<br />
(*) \qquad n! = k_1+k_2+\ldots +k_n,\     1 = k_1 < k_2 < \ldots <k_n,<br />
\]

gdzie liczby naturalne $ k $, są dzielnikami $ n! $, i pomnóżmy napisaną równość stronami przez $ n+1 $. Otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
(n+1)! & = (n+1)k_1+(n+1)k_2+\ldots + (n+1)k_n = \\<br />
& = 1+n+(n+1)k_2+ \ldots + (n+1)k_n =\\<br />
& = l_1+l_2+ \ldots + l_{n+1},<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ l_1 = 1 $, $ l_2 = n $, $ l_i = (n+1)k_{i-1} $ dla $ i > 2 $. Liczby $ l_i $ są dzielnikami $ (n+1)! $ i spełniają związki $ 1 = l_1 < l_2 < \ldots < l_{n+1} $. To kończy dowód indukcyjny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź