XXXVI OM - II - Zadanie 3

Niech $ L $ będzie zbiorem wszystkich łamanych $ ABCDA $, gdzie $ A, B, C, D $ są różnymi wierzchołkami ustalonego 1985-kąta foremnego. Ze zbioru $ L $ losowo wybieramy łamaną. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jest ona brzegiem czworokąta wypukłego.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ W $ zbiór wszystkich wierzchołków danego wielokąta foremnego. Każdej łamanej ze zbioru $ L $ możemy przyporządkować zbiór jej wierzchołków, czyli pewien czteropunktowy podzbiór zbioru $ W $. Na odwrót, każda czwórka punktów z $ W $ jest zbiorem wierzchołków dokładnie trzech różnych łamanych ze zbioru $ L $ (rysunek 6 przedstawia trzy możliwe sposoby połączenia tych punktów odcinkami); z tych trzech łamanych jedna jest brzegiem czworokąta wypukłego. Tak więc wszystkie łamane w zbiorze $ L $ można pogrupować w trójki tak, że w każdej trójce jedna i tylko jedna jest brzegiem czworokąta wypukłego. Szukane prawdopodobieństwo wynosi zatem $ 1/3 $.
om36_2r_img_6.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź