XXXVI OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli dla liczb naturalnych $ a, b $ liczba $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $ jest wymierna, to $ a, b $ są sześcianami liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Oznaczmy liczby $ \sqrt[3]{a} $ i $ \sqrt[3]{b} $ odpowiednio przez $ x $ i $ y $, a ich sumę przez $ s $. Należy dowieść, że $ x $, $ y $ są liczbami naturalnymi. Z założenia liczba $ s = x+y $ jest wymierna. Ponieważ

\[<br />
s^3 = x^3-y^3+3x^2y+3xy^2 = a+b+3sxy,<br />
\]

więc iloczyn $ xy $ jest liczbą wymierną. Dalej mamy

\[<br />
a-b = x^3-y^3 = (x-y)(x^2+y^2+xy) = (x-y) (s^2-xy),<br />
\]

skąd wobec wymierności liczb $ a $, $ b $, $ s $, $ xy $ wnosimy, że różnica $ x-y $ jest liczbą wymierną. Skoro i suma i różnica liczb $ x $ i $ y $ jest wymierna, to obie te liczby są wymierne.

Przedstawmy $ x $ w postaci ułamka nieskracalnego $ m/n $. Wówczas także $ X^3 = m^3/n^3 $ jest ułamkiem nieskracalnym, a ponieważ $ x^3 = a $ jest liczbą całkowitą, więc $ n = 1 $. To zaś oznacza, że $ x $ jest liczbą naturalną. Podobnie dowodzimy, że $ y $ jest liczbą naturalną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź