XXXVI OM - II - Zadanie 6

W przestrzeni dane są różne punkty $ A, B, C_0, C_1, C_2 $, przy czym $ |AC_i| = 2 |BC_i| $ dla $ i = 0,1,2 $ oraz $ |C_1C_2|=\frac{4}{3}|AB| $. Dowieść, że kąt $ C_1C_0C_2 $, jest prosty i punkty $ A, B, C_1, C_2 $ leżą na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Dowód oprzemy na następującym twierdzeniu Apoloniusza:

Na płaszczyźnie $ \pi $ dane są dwa punkty $ A $ i $ B $; dana jest ponadto liczba dodatnia $ \lambda \ne 1 $. Zbiór punktów $ X $ płaszczyzny $ \pi $ spełniających warunek $ |AX| = \lambda |BX| $ tworzy okrąg, a środek tego okręgu leży na prostej $ AB $.

Dowód tego twierdzenia metodą geometrii analitycznej jest natychmiastowy: można przyjąć, że $ A = (-1,0) $, $ B = (1,0) $; warunek nałożony na punkt $ X = (x,y) $ przyjmuje postać równania

\[<br />
(x+1)^2 +y^2 = \lambda^2((x-1)^2+y^2),<br />
\]

po prostych przekształceniach

\[<br />
(x-a)^2+y^2 = r^2,<br />
\]

gdzie $ a = (\lambda^2+1)/(\lambda^2-1) $, $ r^2 = a^2-1 $; stąd teza.

Okrąg, o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nosi nazwę okręgu Apoloniusza (dla punktów $ A $, $ B $ i stosunku $ \lambda $). Czytelników zainteresowanych innymi dowodami tego twierdzenia oraz informacjami o zagadnieniach wiązanych z okręgiem Apoloniusza odsyłamy do artykułu Jerzego Bednarczuka w miesięczniku Delta, nr 7/1985.

Przenosząc rozważania do przestrzeni, zauważmy, że przez obrót płaszczyzny $ \pi $ wokół prostej $ AB $ otrzymujemy przestrzenną wersję omawianego twierdzenia:

Zbiór punktów $ X $ spełniających warunek $ |AX| = \lambda |BX| $ tworzy sferę, a jej środek leży na prostej $ AB $ ($ A $, $ B $ - dane punkty, $ \lambda $ - dana liczba, $ \lambda > 0 $, $ \lambda \ne 1 $).

Sferę tę będziemy nazywali sferą Apoloniusza (dla punktów $ A $, $ B $ stosunku $ \lambda $).
om36_2r_img_7.jpg
Rozwiązanie zadania jest teraz bardzo proste. Oznaczając przez $ S $ sferę Apoloniusza dla danych w zadaniu punktów $ A $, $ B $ i stosunku $ \lambda = 2 $ widzimy, że $ _i \in S (i = 0,1,2) $. Do sfery $ S $ należą w szczególności dwa punkty prostej $ AB $: punkt $ P \in \overline{AB} $ taki, że $ |BP| = \frac{1}{3} |AB| $ oraz punkt $ Q \ne A $ taki, że $ |BQ| = |AB| $ (rysunek 7); ich odległość wynosi $ \frac{4}{3} |AB| $, a ponieważ środek $ S $ leży na prostej $ AB $, więc $ \overline{PQ} $ jest średnicą sfery $ S $. Wobec tego średnica $ S $ równa się $ \frac{4}{3} |AB| $ (można to było wywnioskować również z wzoru analitycznego otrzymanego w dowodzie twierdzenia Apoloniusza). Stąd wynika, że również odcinek $ \overline{C_1C_2} $ musi być średnicą sfery $ S $. Kąt $ C_1C_0C_2 $ jest prosty, bo $ C_0 \in S $. Proste $ AB $ oraz $ C_1C_2 $ przecinają się (w środku sfery $ S $), zatem punkty $ A $, $ B $, $ C_1 $, $ C_2 $ są współpłaszczyznowe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź