XXXVI OM - III - Zadanie 2

Dany jest kwadrat o boku długości 1 oraz liczby dodatnie $ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n $ nie większe od 1 takie, że $ a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n > 100 $. Udowodnić, że można pokryć ten kwadrat prostokątami $ P_i $ ($ i = 1,2,\ldots,n $) o bokach długości $ a_i, b_i $ równoległych do boków kwadratu.

Rozwiązanie

Niech $ AB $ będzie podstawą kwadratu. Możemy założyć, że $ 1 \geq a_x \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n $. Na półprostej $ AB^\to $ odkładamy kolejno odcinki o długości $ b_1, b_2, \ldots ,b_k $ aż do przekroczenia punktu $ B $, nad każdym kolejnym odcinkiem długości $ b_i $; budujemy prostokąt, którego drugi bok ma długość $ a_i $. Otrzymamy w ten sposób warstwę prostokątów, których suma pól $ S_1 $ spełnia nierówność

\[<br />
S_1 \leq 2a_1.<br />
\]

Następnie prowadzimy prostą równoległą do $ AB $ odległą od niej o $ a_k $ przecinającą boki kwadratu w punktach $ A_1 $, $ B_1 $ i na niej budujemy kolejną warstwę prostokątów: odkładamy na półprostej $ A_1B_1^\to $ kolejno odcinki długości $ b_{k+1}, b_{k+2}, \ldots b_r $ aż do przekroczenia punktu $ B_1 $, nad każdym kolejnym odcinkiem długości $ b_i $ budujemy prostokąt, którego drugi bok ma długość $ a_i $. Suma $ S_2 $ pól prostokątów tej warstwy spełnia nierówność

\[<br />
S_2 \leq 2a_{k+1} \leq 2a_k.<br />
\]

Kontynuujemy to postępowanie aż do wyczerpania wszystkich liczb $ a_1b_1, \ldots a_nb_n $. Przypuśćmy, że w wyniku takiego postępowania nie pokryjemy całego kwadratu. Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad a_k+a_r+\ldots <2.<br />
\]

Z drugiej strony

\[<br />
S_1+ S_2+\ldots = a_1b_1+a_2b_2+ \ldots +a_nb_n \geq 100,<br />
\]

ale

\[<br />
 S_1+S_2+\ldots \leq 2a_1+2a_k+2a_r+ \ldots .<br />
\]

Mamy więc

\[<br />
2(a_1+a_k+a_r+\ldots) \geq100<br />
\]

wbrew nierówności (1). Wobec tego podany tu sposób układania prostokątów prowadzi do pokrycia danego kwadratu.

Uwaga. Liczbę $ 100 $ podaną w treści zadania można zastąpić przez liczbę mniejszą. Przytoczone tu rozwiązanie funkcjonuje, gdy $  a_1b_1+a_2b_2+ \ldots +a_nb_n \geq 6 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź