XXXVI OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełnia dla każdego $ x \in \mathbb{R} $ równość $ f(3x) = 3f(x) — 4(f(x))^3 $ i jest ciągła w punkcie 0, to wszystkie jej wartości należą do przedziału $ \langle -1;1\rangle $.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat. Jeżeli $ |f(x)| \leq 1 $, to $ |f(3x)| \leq 1 $.
Dowód.
Jeśli $ |f(x)| \leq 1 $, to dla pewnego $ y $ jest $ f(x) = \sin y $. Wobec tego $ f(3x) = 3 \sin y - (sin y)^3 = \sin 3y $, skąd wynika, że $ |f(3x)| \leq 1 $.

Obliczmy $ f(0) $. Podstawiając w danym wzorze $ x = 0 $ otrzymamy $ f(0) = 3f(0)-4(f(0))^3 $, skąd $ 4(f(0))^3 = 2f(0) $, więc $ f(0) = 0 $ lub $ f(0) = 1/ \sqrt{2} $ lub $ f(0) = - 1/\sqrt{2} $. W każdym przypadku $ |f(0)| < 1 $. Z ciągłości funkcji $ f $ w punkcie $ 0 $ wynika, że istnieje takie otoczenie $ (-d;d) $ punktu $ 0 $, że dla $ x $ należących do tego otoczenia jest $ |f(x)| < 1 $. Dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ istnieje liczba naturalna $ n $, dla której $ t/3^n \in (-d;d) $. Zatem $ f(t/3^n)| \leq 1 $, zaś na podstawie lematu $ |f(t/3^{n-1})| = \left| f\left(3 \cot \frac{t}{3^n} \right)\right| \leq 1 $, $ |f(t/3^{n-2})| = \left| f\left(3 \cot \frac{t}{3^{n-1}} \right)\right| \leq 1 $ L itd., wreszcie $ |f(t)| \leq 1 $.

Wobec tego wszystkie wartości funkcji $ f $ należą do przedziału $ [-1; 1] $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź