XXXVI OM - III - Zadanie 5

Niech $ P $ będzie takim wielomianem dwóch zmiennych, że dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ zachodzi równość $ P(\cos t, \sin t) = 0 $. Dowieść, że istnieje taki wielomian $ Q $, że ma miejsce tożsamość

\[<br />
P(x,y)=(x^2-y^2-1)Q(x,y).<br />
\]

Rozwiązanie

Uporządkujmy wielomian $ P(x,y) $ względem malejących potęg zmiennej $ x $. $ P(x,y) = P_n(y) \cdot x_n+P_{n-1}(y) \cdot x^{n-1} + \ldots +P_1 (y) \cdot x+  P_0(y) $, gdzie $ P_n, P_{n-1}, \ldots, P_1, P_0 $ są wielomianami zmiennej $ y $. Traktując $ y $ jako pewną wartość ustaloną możemy obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu $ P $ przez wielomian $ x^2+y^2-1 $ (traktowany jako wielomian zmiennej $ x $).

Otrzymamy

\[<br />
P(x,y) = [Q_{n-2}(y)x^{n-2}+ \ldots +Q_0(y)] \cdot (x^2+y^2-1)+R_1(y)\cdot x  R_0(y),<br />
\]

gdzie $ Q_i $, $ R_j $ są wielomianami zmiennej $ y $. Podstawiając w powyższej równości $ x = \cos t $, $ y = \sin t $ otrzymamy

\[<br />
P(\cos t, \sin r) = R_1 (\sin t) \cos t+R_0 (\sin r),<br />
\]

gdyż $ \cos^2t+\sin^2t-1 = 0 $ dla każdego $ t $. Wobec założenia o wielomianie $ P $ mamy więc

\[<br />
R_1(\sin t) \cdot \cos t + R_0(\sin t) = 0<br />
\]

dla każdego rzeczywistego $ t $. Podstawiając w miejsce $ t $ liczbę $ \pi-t $ otrzymamy

\[<br />
R_1(\sin t) \cdot (-\cos t)+R_0(\sin t) = 0,<br />
\]

skąd po dodaniu do poprzedniego równania otrzymamy $ R_0(\sin t) = 0 $. Wielomian $ R_0 $ przyjmuje wartość $ 0 $ dla nieskończenie wielu argumentów, gdyż $ \sin t $ może być dowolną liczbą z przedziału $ \langle -1 ;1 \rangle $. Wynika stąd, że $ R_0 $ jest wielomianem zerowym. Mamy więc $ R_1(\sin t) \cdot \cos t =0 $ dla każdego $ t $, skąd analogicznie wnioskujemy, że $ R_1 $ jest wielomianem zerowym. Wobec tego $ P(x,y) = Q(x,y)(x^2+y^2-1) $, gdzie $ Q(x,y) = Q_{n-2}(y)x^{n-2}+\ldots +Q_n(y) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź