XXXVI OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w wielościanie wypukłym mającym $ k $ ścian istnieje więcej niż $ k/2 $ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi, to w wielościan ten nie można wpisać kuli.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że można wpisać kulę w dany wielościan. Niech $ S_1,\ldots, S_k $ będą ścianami wielościanu, $ P_1,\ldots ,P_k $ punktami styczności odpowiednich ścian z kulą. Jeżeli $ A $, $ B $ są wspólnymi wierzchołkami ścian $ S_i $, $ S_j $, to trójkąty $ ABP_i $, i $ ABP_j $ są przystające (odcinki $ AP_i $ i $ \overline{AP_j} $ stycznych do kuli poprowadzonych z punktu $ A $ mają równe długości, podobnie $ |BP_i= |BP_j| $). W ten sposób kąt pełny o wierzchołku $ P_i $ położony na ścianie $ S_i $ można przedstawić jako sumę odpowiednich kątów położonych na ścianach mających z $ S_i $ wspólną krawędź. Suma miar kątów wyznaczonych w ten sposób na wszystkich ścianach wynosi $ k \cdot 2\pi $. W myśl założenia istnieje więcej niż $ k/2 $ ścian, z których żadne dwie nie mają wspólnej krawędzi. Oczywiście suma miar kątów o środkach w punktach styczności tych ścian z kulą wynosi więcej niż $ k\pi $. Każdy z tych kątów równy jest odpowiedniemu kątowi na jednej z pozostałych ścian. Ale tych pozostałych ścian jest mniej niż $ k/2 $, więc suma miar rozważanych na nich kątów jest mniejsza od $ k\pi $. Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem w taki wielościan nie można wpisać kuli.

Uwaga. Istnienie wielościanów spełniających taki warunek wykazaliśmy w zadaniu 11 z zawodów stopnia pierwszego.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź