LIX OM - III -Zadanie 4

Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało albo na czarno. Dowieść, że ze zbioru w
szystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty
mają ten sam kolor.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że teza zadania jest fałszywa.

Rozpatrzmy symetrię środkową względem punktu $ (0,0) $. Ponieważ nie istnieje nieskończony zbiór symetryczny względem
tego punktu i złożony z punktów jednego koloru, więc tylko skończenie wiele punktów o obu współrzędnych całkowitych
przechodzi przy tej symetrii na punkty tego samego koloru. Wobec tego istnieje taka liczba całkowita $ M $, że dla każdego
punktu o współrzędnych całkowitych $ (x,y) $, przy czym $ |y| >M $, punkty $ (-x,-y) $ i $ (x,y) $ mają różne kolory.

Rozważając analogicznie symetrię środkową względem punktu $ (\frac{1}{2},0) $ widzimy, że istnieje taka liczba całkowita $ N $,
że dla każdego punktu o współrzędnych całkowitych $ (x,y) $, przy czym $ |y|>N $, punkt $ (x,y) $ ma inny kolor niż jego obraz
przez rozpatrywaną symetrię, czyli punkt $ (-x+1,-y) $.

Przyjmijmy $ k =\max\{M,N\}+1 $ i rozpatrzmy dowolną liczbę całkowitą $ s $. Wówczas punkt $ (s,k) $ przy symetrii względem
punktu $ (0,0) $ przechodzi na punkt $ (-s,-k) $, który jest przeciwnego koloru niż punkt $ (s,k) $. Ponadto punkt $ (-s,-k) $
przy symetrii względem punktu $ (\frac{1}{2}, 0) $ przechodzi na punkt $ (s +1,k) $, który jest przeciwnego koloru niż punkt $ (-s,-k) $.
Wobec tego punkty $ (s,k) $ i $ (s+1,k) $ mają jednakowy kolor. Ponieważ $ s $ było dowolną liczbą całkowitą, więc wynika stąd,
że wszystkie punkty o pierwszej współrzędnej całkowitej i drugiej współrzędnej równej $ k $ mają ten sam kolor.
Jednakże punkty te tworzą nieskończony zbiór, którego środkiem symetrii jest punkt $ (0,k) $.
Otrzymana sprzeczność z założeniem nie wprost kończy rozwiązanie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź