XXXV OM - I - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy sześciokąt foremny można pokryć sześcioma kołami o średnicy równej długości boku sześciokąta.

Rozwiązanie

om35_1r_img_1.jpg
Żądane pokrycie otrzymamy biorąc koła, których średnicami są odcinki łączące środek sześciokąta z poszczególnymi wierzchołkami. Koło mające średnicę $ \overline{AO} $ , gdzie $ A $ jest wierzchołkiem sześciokąta, zawiera połowy boków stykających się w wierzchołku $ A $. Wynika to stąd, że środek $ M $ boku $ \overline{AB} $ leży na symetralnej odcinka $ \overline{AB} $, więc $ \measuredangle AMO = 90^\circ $ i wobec tego punkt $ M $ leży na okręgu o średnicy $ \overline{AO} $. Zatem każdy punkt sześciokąta należy do co najmniej jednego z kół, których średnicami są kolejno odcinki $ \overline{AO} $, $ \overline{BO} $, $ \overline{CO} $, $ \overline{DO} $, $ \overline{EO} $, $ \overline{FO} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź