XXXV OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru $ a $, dla których układ równań

\[<br />
\begin{split}<br />
x + y + z &= 2,\\<br />
xy + yz +zx &= 1,\\<br />
xyz &= a.<br />
\end{split}<br />
\]

ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, $ z $ stanowią rozwiązanie danego układu równań wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są pierwiastkami wielomianu

\[<br />
f(f) = t^3-2t^2+t-a.<br />
\]

Istotnie, liczby $ x $, $ y $, $ z $ są pierwiastkami wielomianu $ f $ wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
t^3-2t^2+t-a = (t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - (x + y + z) t^2 +(xy + yz + zx) t - xyz,<br />
\]

a więc wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
-2 = -(x+y + z)<br />
\]
\[<br />
 1 = xy +yz +zx<br />
\]
\[<br />
- a = -xyz.<br />
\]

Wobec tego pytanie postawione w zadaniu sprowadza się do tego, dla jakich wartości $ a $ wielomian $ f $ ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Oczywiście $ \displaystyle \lim_{t \to - \infty} f(t) = - \infty $, $ \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = + \infty $. Wyznaczymy punkty, w których funkcja $ f $ ma ekstrema. Pochodną tej funkcji jest

\[<br />
f'(t) = 3t^2-4r +1.<br />
\]

Miejscami zerowymi pochodnej są $ t_1 = \frac{1}{3} $, $ t_2 = 1 $. Przyjmuje ona między tymi miejscami zerowymi wartości ujemne, skąd wynika, że przechodząc przez $ t_1 $ zmienia wartości z dodatnich na ujemne. Wobec tego w punkcie $ t_1 $ funkcja $ f $ przyjmuje maksimum, a w $ t_2 $ - minimum. Wynika stąd, że na to, by wielomian $ f $ miał trzy pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami) potrzeba i wystarcza, by $ f(t_1) \geq 0 $, $ f(t_2) \leq 0 $, tj.

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{rcl}<br />
\left( \frac{1}{3} \right)^3 - 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{3} - a \geq 0\\<br />
-a \leq 0<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

czyli

\[<br />
0 \leq a \leq \frac{4}{27}.<br />
\]

Dany układ równań ma więc rozwiązania w liczbach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $ a \in \left[ 0;\ \frac{4}{27} \right] $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź