XXXV OM - I - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wartości $ p, q $, dla których nierówność

\[<br />
|\sqrt{1-x^2} - px - q| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)<br />
\]

zachodzi dla każdego $ x $ z przedziału $ [0; 1] $.

Rozwiązanie

Szukamy takich funkcji liniowych $ f(x) = px + q $, że dla każdego $ x_0 $ z przedziału $ [0; 1] $ wartość $ f(x_0) $ różni się od wartości funkcji $ g(x) = \sqrt{1 - x^2} $ w punkcie $ x_0 $ nie więcej niż o $ \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1) $. Pokażemy najpierw, że funkcja $ f(x) = - x+\frac{1}{2}(\sqrt{2} +1) $ spełnia ten warunek.

Funkcja $ h(x) = \sqrt{1-x^2} + x- \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1) $ przyjmuje na końcach przedziału $ [0; 1] $ wartości równe $ g(0)-f(0) = g (1)-f(1) = -\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1) $. Funkcja ta jest różniczkowania w przedziale $ (0;1) $ i jej pochodna jest równa $ h'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $. Jedynym miejscem zerowym pochodnej w przedziale $ (0; 1) $ jest $ \frac{1}{\sqrt{2}} $, w tym punkcie funkcja $ h $ przyjmuje maksimum równe $ \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1) $. Wynika stąd, że dla każdego $ x \in [0; 1] $ jest spełniona nierówność

\[<br />
\left| \sqrt{1-x^2} + x -\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1) \right| \leq \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1).<br />
\]

Pokażemy, że liczby $ p = -1 $, $ q = \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1) $ stanowią jedyne rozwiązanie zadania.

Przypuśćmy, że para liczb $ (p_1, q_1) $ różna od pary $ (p, q) $ jest również rozwiązaniem zadania. Rozważmy prostą $ l_1 $ o równaniu $ y = p_1 x + q_1 $. Z przeprowadzonych wyżej rachunków wynika, że punkt $ (0, q_1) $ leży na osi $ OY $ nie wyżej niż punkt $ (0, q) $, podobnie punkt $ (1, p_1+q_1) $ leży na prostej o równaniu $ x = 1 $ nie wyżej niż punkt $ (1,p + q) $. Ponieważ proste o równaniach $ y= px + q $, $ y = p_1 x + q_1 $ nie mogą się pokrywać, więc punkt $ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p_1 + q_1 \right) $ leży poniżej punktu$ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p + q \right) $. Ponieważ punkt $ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p + q \right) $ leży pod wykresem funkcji $ g $ w odległości $ \frac{1}{2}(\sqrt{2} -1) $ od punktu $ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right) $, więc odległość punktu $ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} p_1 + q_1 \right) $ od $ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right) $ przekracza $ \frac{1}{2} (\sqrt{2}-1) $.

Wynika stąd, że żadna para liczb $ (p_1, q_1) $ różna od $ (p, q) $ nie spełnia warunków zadania. Jedynym rozwiązaniem jest więc $ p=-1 $, $ q=\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź