XXXV OM - I - Zadanie 4

Dane są dwa przecinające się okręgi $ o(O_1, r_1) $ i $ o(O_2, r_2) $ i prosta styczna do nich odpowiednio w punktach $ A $ i $ B $. Punkt $ C $ jest punktem wspólnym tych okręgów bliższym prostej $ AB $, $ R $ jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, $ d = O_1O_2 $ Udowodnić, że $ \measuredangle ABC = \measuredangle O_1CO_2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2 $.

Rozwiązanie

Z trójkąta równoramiennego $ AC0_1 $ wyznaczamy

\[<br />
\frac{AC}{2r_1} = \cos \measuredangle O_1AC.<br />
\]

Ponieważ $ \measuredangle O_1AB = 90^\circ $, więc $ \cos O_1AC = \sin  (90^\circ  -O_1AC) = \sin  BAC $. Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta $ ABC $ otrzymujemy

\[<br />
\sin \measuredangle BAC = \frac{|BC|}{2R},<br />
\]

więc

\[<br />
\frac{|AC|}{2r_1} = \frac{|BC|}{2R}.<br />
\]

Podobnie

\[<br />
\frac{|BC|}{2r_2} = \frac{|AC|}{2R}.<br />
\]

Z ostatnich dwóch równości wynika, że

\[<br />
r_1 r_2 = R^2.<br />
\]

om35_1r_img_2.jpg

Obliczając sumę kątów o wierzchołku $ C $ otrzymamy $ 360^\circ  = \measuredangle O_1 CO_2 +\measuredangle ACB + (90^\circ - \measuredangle BAC) + (90^\circ- \measuredangle ABC) = \measuredangle O_1C0_2 + \measuredangle ACB+ (180^\circ -(\measuredangle BAC + \measuredangle ABC)) = \measuredangle O_1CO_2 + \measuredangle ACB + \measuredangle ACB $. Stąd $ \measuredangle ACB = 180^\circ -\frac{1}{2} \measuredangle O_1CO_2 $.

Wobec tego równość $ \measuredangle ACB = \measuredangle O_1 CO_2 $ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $ \measuredangle ACB = 120^\circ $, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy $ \cos  \measuredangle ACB = -\frac{1}{2} $ oraz
$ 0 \leq \measuredangle ACB \leq 180\circ $. Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy

\[<br />
\cos \measuredangle ACB = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2R^2}.<br />
\]

Równość $ \measuredangle ACB = \measuredangle O_1CO_2 $ jest więc równoważna równości

\[<br />
\frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2R^2} = -\frac{1}{2},\ \textrm{tj.} \ d^2 = r_1^2 + r_2^2 + R^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź