XXXV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że istnieje taka wielokrotność liczby $ 5^n $, której zapis w układzie dziesiętnym składa się $ n $ cyfr różnych od zera.

Rozwiązanie

Liczba $ 5^n $ ma w zapisie dziesiętnym nie więcej niż $ n $ cyfr: $ 5^n = c_0+c_1 \cdot 10 + c_2 \cdot 10^2+ \ldots +c_{n-1} \cdot 10^{n-1} $, przy czym niektóre cyfry $ c_i $ mogą być zerami. Przypuśćmy, że $ k $ jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której $ c_k = 0 $. Rozważmy liczbę $ 5^{n} +10^{k} \cdot 5^{n-k} $. Liczba ta ma w zapisie dziesiętnym postać $ c_0+c_1 \cdot 10 + \ldots + c_{k-1} \cdot 10^{k-1} + 5 \cdot 10^{k} + \ldots $, gdzie $ c_i \ne 0 $ dla $ i \leq k $. Jeśli któraś z dalszych cyfr tej liczby jest równa zeru, np. $ c_r = 0 $ przy pewnym $ r > k $, ale $ c_j \ne 0 $ dla $ j < r $, to rozważamy liczbę $ 5^{n} +10^{k} \cdot 5^{n-k} +10^{r} \cdot 5^{n-r} $, która w zapisie dziesiętnym ma $ r + 1 $ kolejnych cyfr różnych od zera.

W wyniku takich operacji otrzymamy liczbę, w której zapisie dziesiętnym niezerowe są cyfry odpowiadające rzędom $ 1 $, $ 10 $, $ 10^2 $, $ 10^{n-1} $. Ponadto liczba ta nie przekracza $ 5^{n} + 10 \cdot 5^{n-t} +10^2 \cdot 5^{n-2} + \ldots +10^{n-t} \cdot 5 =5^{n} + 2 \cdot 5^{n} + 2^2 \cdot 5^n+ \ldots +2^{n-1} \cdot 5^{n} = 5^n(1 +2 + 2^2+ \ldots + 2^{n-1}) = 5^{n}(2^{n}-1) < 10^{n} $.

Jest to więc liczba mająca w zapisie dziesiętnym dokładnie $ n $ cyfr różnych od zera. Jest ona przy tym wielokrotnością liczby $ 5^{n} $, gdyż powstaje przez dodanie do $ 5^{n} $ składników postaci $ 10^{k} \cdot 5^{n-k} = 5^{n} \cdot 2^{k} $, które są wielokrotnościami liczby $ 5^{n} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź