XXXV OM - I - Zadanie 6

Rozwiązać układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
\frac{x+y}{1+xy} &= \frac{2a}{1+a^2}, \\<br />
\frac{x-y}{1-xy} &= \frac{2b}{1+b^2}.<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Jeśli para liczb $ (x,y) $ jest rozwiązaniem tego układu, to $ xy \ne 1 $, $ xy \ne -1 $. Rozpatrzmy kilka najprostszych przypadków.

Jeśli $ x = 1 $, to równania przybierają postać

\[<br />
\frac{1+y}{1+y} = \frac{2a}{1+a^2},<br />
\frac{1-y}{1-y}= \frac{2b}{1+b^2}<br />
\]

są więc w przypadku, gdy $ a = b = 1 $ spełnione przez każdą liczbę $ y $ różną od $ 1 $, $ - 1 $, a dla innych $ a $, $ b $ nie mają rozwiązań.

Podobnie stwierdzamy, że jeśli $ y = 1 $, to musi być $ a = 1 $, $ b = - 1 $ i wtedy $ x $ może przybierać dowolną wartość różną od $ 1 $, $ -1 $. Następnie $ x = - 1 $ jedynie dla $ a = - 1 $, $ b = - 1 $ i wówczas $ y $ może być dowolną liczbą $ \ne 1 $, $ - 1 $, natomiast $ y = - 1 $ dla $ a = - 1 $, $ b = 1 $ i wtedy $ x $ jest dowolne różne od $ 1 $, $ - 1 $.

W przypadku $ a = b \ne 1 $ lub $ ab = 1 $, $ a \ne 1 $, $ -1 $ jest $ x=\frac{2a}{1+a^2} $, $ y = 0 $, w przypadku $ a = - b \ne 1 $, $ - 1 $ lub $ ab = - 1 $, $ a \ne 1 $, $ - 1 $ jest $ x = 0 $, $ y = \frac{2a}{1+a^2} $.

Możemy teraz szukać rozwiązań w innych przypadkach zakładając, że $ x \ne 1 $, $ x \ne -1 $, $ y \ne 1 $, $ y \ne - 1 $, $ xy \ne 1 $, $ xy \ne - 1 $, $ a \ne b $, $ a \ne - b $, $ ab \ne 1 $, $ ab \ne -1 $.

Dany układ równań przekształćmy do równoważnej postaci

\[<br />
\begin{split}<br />
 (1) \qquad<br />
x + y & = \frac{2a}{1+a^2} (1+xy)\\<br />
x - y & = \frac{2b}{1+b^2} (1-xy)<br />
\end{split}<br />
\]

Dodając do obu stron pierwszego równania wyrażenie $ 1 + xy $ otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
 (2) \qquad<br />
x + y + 1 + xy & = \left( \frac{2a}{1+a^2} +1 \right) (1+xy)\\<br />
(1+x)(1+y) & = \frac{(1+a)^2}{1+a^2} (1+xy).<br />
\end{split}<br />
\]

Odejmując obie strony pierwszego równania układu (1) od $ 1 +xy $ otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
 (3) \qquad<br />
1 + xy -x -y & = (1+xy) \left( 1 - \frac{2a}{1+a^2} \right) \\<br />
(1-x)(1-y) & = (1+xy) \frac{(1-a)^2}{1+a^2} .<br />
\end{split}<br />
\]

Obie strony równania (3) są różne od zera, możemy więc podzielić stronami (2) przez (3)

\[<br />
\frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)} = \left( \frac{1+a}{1-a} \right)^2.<br />
\]

Postępując analogicznie z drugim równaniem układu (1) otrzymamy

\[<br />
\frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)} = \left( \frac{1+b}{1-b} \right)^2.<br />
\]

Pomnóżmy teraz dwa ostatnie równania stronami

\[<br />
\left( \frac{(1+x)}{(1-x)} \right)^2 = \left( \frac{(1+a)(1+b)}{(1-a)(1-b)} \right)^2.<br />
\]

więc

\[<br />
\frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+a)(1+b)}{(1-a)(1-b)} \ \textrm{lub} \<br />
\frac{1+x}{1-x} = - \frac{(1+a)(1+b)}{(1-a)(1-b)}<br />
\]

Z pierwszego z tych równań obliczamy

\[<br />
\begin{split}<br />
(1-a)(1-b)+(1-a)(1-b)x = (1 + a)(1+b)-(1 + a)(1+b)x,\\<br />
(1-a-b+ab + 1+a+b+ab)x = 1+a+b+ab-1+a + b-ab,\\<br />
(2 + 2ab)x = 2a + 2b,\\<br />
x_1 = \frac{a+b}{1+ab}.<br />
\end{split}<br />
\]

i podobnie z drugiego równania

\[<br />
x_2 = \frac{1+ab}{a+b}.<br />
\]

Podstawiając $ x_1 $ do pierwszego z równań układu (1) otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{a+b}{1+ab} + y = \frac{2a}{1+a^2} \left( 1 + \frac{a+b}{1+ab}y \right),\\<br />
\left( 1-\frac{2a}{1+a^2} \cdot \frac{a+b}{1+ab}y \right) =<br />
\frac{2a}{1+a^2} - \frac{a+b}{1+ab}\\<br />
\frac{1 +a^2 +ab+a^3b-2a^2-2ab}{(1+a^2)(1+ab)}y = \frac{2a + 2a^2b-a-b-a^3-a^2b}{(1 +a^2)(1 +ab)} \\<br />
\frac{(1-a^2)(1-ab)}{(1+a^2)(1+ab)} y = \frac{(a-b)(1-a^2)}{(1+a^2)(1+ab)} \\<br />
y_1 = \frac{a-b}{1-ab}<br />
\end{split}<br />
\]

Podobnie podstawiając $ x_2 $ do pierwszego równania układu (1) obliczamy

\[<br />
y_2 = \frac{1-ab}{a-b}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź