XXXV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych $ m, p $ większych od 1 spełniona jest nierówność

\[<br />
\sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1)\cdot\sqrt[p]{k}} < p.<br />
\]

Rozwiązanie

Oszacujemy $ k $-ty składnik rozważanej sumy:

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{(k+1) \cdot \sqrt[p]{k}} =<br />
\frac{1}{\sqrt[p]{k}} \left( \frac{k}{k} - \frac{k}{k+1}\right)=\\<br />
= k^{1-\frac{1}{p}} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) =<br />
k^{1-\frac{1}{p}} ((k^{-\frac{1}{p}})^p - ((k+1)^{-\frac{1}{p}})^p) =\\<br />
k^{1-\frac{1}{p}} (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}}) \sum_{j=0}^{p-1} k^{-\frac{j}{p}} (k+1)^{-\frac{p-1-j}{p}}  =\\<br />
= (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^-{-\frac{1}{p}}) \sum_{j=0}^{p-1} k^{\frac{p-1-j}{p}} (k+1)^{-\frac{p-1-j}{p}}=\\<br />
(k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}}) \sum_{j=0}^{p-1} \left( \frac{k}{k+1} \right)^{\frac{p-j-1}{p}} < (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}})p,<br />
\end{split}<br />
\]

gdyż suma występująca przed znakiem nierówności ma $ p $ składników, z których każdy jest mniejszy od $ 1 $. Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{k=1}^m \frac{1}{(k+1) \sqrt[p]{k}} < \sum_{k=1}^m (k^{-\frac{1}{p}} - (k+1)^{-\frac{1}{p}}) p =<br />
p(1^{-\frac{1}{p}} - 2^{-\frac{1}{p}} + 2^{-\frac{1}{p}} -3^{-\frac{1}{p}} + \ldots \\<br />
+ m^{-\frac{1}{p}} - (m+1)^{-\frac{1}{p}}) = p(1^{-\frac{1}{p}} - (m+1)^{-\frac{1}{p}}) = p \left( 1 - \frac{1}{\sqrt[p]{m+1}}\right) < p<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź