XXXV OM - I - Zadanie 8

Niech $ n $ będzie liczbą naturalną parzystą. Udowodnić, że czworokąt można podzielić na $ n $ trójkątów, których wierzchołki leżą w wierzchołkach czworokąta albo wewnątrz czworokąta, a bok każdego trójkąta jest albo bokiem czworokąta, albo bokiem innego trójkąta.

Rozwiązanie

Co najmniej jedna przekątna czworokąta jest zawarta w jego wnętrzu. Niech będzie to np. przekątna $ \overline{AC} $ . Jeśli $ n = 2 $, to podział czworokąta $ ABCD $ na trójkąty $ ABC $ i $ ACD $ jest żądanym podziałem. Przypuśćmy, że $ n = 2k $ jest liczbą parzystą. Obierzmy na przekątnej $ AC $ dowolne punkty $ A_1,\ldots,A_{k-1} $ leżące na niej w kolejności zgodnej z numeracją i różne od $ A $ i $ C $. Przyjmijmy dodatkowo $ A_0 = A $, $ A_k = C $. Podział czworokąta $ ABCD $ na trójkąty $ A_{i-1}BA_i $ oraz $ A_{i-1}DA_i $, $ i = 1,\ldots, k $ spełnia postawione warunki.
om35_1r_img_3.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź