XXXV OM - I - Zadanie 9

Trzy zdarzenia spełniają warunki:
a) ich prawdopodobieństwa są równe,
b) każde dwa spośród nich są niezależne,
c) nie zachodzą równocześnie.
Wyznaczyć największą wartość prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń.

Rozwiązanie

om35_1r_img_4.jpg
Przypuśćmy, że $ A $, $ B $, $ C $ są tymi zdarzeniami, przy czym prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi $ p $. Wobec założenia o niezależności każdych dwóch spośród rozważanych zdarzeń, prawdopodobieństwo każdej części wspólnej $ A \cap B $, $ B \cap C $, $ C \cap A $ wynosi $ p^2 $. Ponadto $ A \cap B \cap C \ne 0 $. Wobec tego

\[<br />
P(A \cup B \cup C) = 3p-3p^2.<br />
\]

Ponieważ oczywiście $ P (A \cup B \cup C) \geq P (A \cap B) +P (B \cap C) +P (C \cap A) = 3p^2 $, więc $ 3p-3p^2 \geq 3p^2 $, skąd wynika, że $ p \leq \frac{1}{2} $.

Wartość $ p = \frac{1}{2} $ jest przyjmowana np. przez następujące zdarzenia. Przy dwukrotnym rzucie monetą przyjmujemy jako $ A $ zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wypadła reszka, $ B $ - w drugim rzucie wypadł orzeł, $ C $ - w obu rzutach wypadło to samo. Oczywiście $ P(A) = P(B) = P (C) = \frac{1}{2} $, zdarzenia $ A $, $ B $, $ C $ są parami niezależne i nie mogą zachodzić jednocześnie.

Wobec tego największą wartością rozważanego prawdopodobieństwa jest $ \frac{1}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź