XXXV OM - I - Zadanie 10

Na płaszczyźnie dane jest $ 3n $ punktów, wśród których nie ma trzech punktów współliniowych. Dowieść, że istnieje $ n $ rozłącznych trójkątów o wierzchołkach w danych punktach.

Rozwiązanie

om35_1r_img_5.jpg
Rozważmy wszystkie proste, z których każda przechodzi przez dwa punkty danego zbioru $ 3n $ punktów. Prostych tych jest skończenie wiele, więc istnieje prosta $ l $, która nie jest prostopadła do żadnej z nich. Zrzutujmy wszystkie dane punkty prostopadle na prostą $ l $, rzuty żadnych dwóch punktów nie pokrywają się. Ponumerujmy dane punkty $ A_1, \ldots, A_{3n} $ zgodnie z kolejnością, w jakiej ich rzuty są usytuowane na prostej $ l $. Trójkąty $ A_{3i-2} A_{3i-1} A_{3i} $ dla $ i = 1,\ldots, n $ są rozłączne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź