XXXV OM - I - Zadanie 11

Podać wzory wyraźne na $ n $-ty wyraz ciągów określonych wzorami rekurencyjnymi:

\[<br />
\begin{split}<br />
a_{n+1} &= 3a_n + b_n, \\<br />
b_{n+1} &= -a_n + b_n, \\<br />
a_1 = 14, &\; b_1 = -6.<br />
\end{split}<br />
\]

Rozwiązanie

Rozważmy ciąg $ (c_n) $ określony wzorem

\[<br />
c_n = a_n + b_n.<br />
\]

Ponieważ $ c_{n+1} = a_{n+1}+b_{n+1} = 3a_n + b_n - a_n +b_n = 2a_n + 2b_n = 2c_n $, więc ciąg $ (c_n) $ określony jest wzorem rekurencyjnym

\[<br />
c_{n + 1} = 2c_n,\ c_1 = 14-6 = 8 = 2^3<br />
\]

Przez indukcję stwierdzamy, że $ c_n = 2^{n + 2} $.

Ponieważ $ b_n = c_n-a_n = 2^{n+2} -a_n $, więc

\[<br />
a_{n+1} = 3a_n + b_n = 3a_n + 2^{n+2}  - a_n = 2a_n + 2^{n + 2}.<br />
\]

Z ostatniego wzoru wynika, że kolejne wyrazy ciągu $ (a_n) $ dzielą się przez kolejne potęgi dwójki. Przyjmując

\[<br />
a_n = 2^nx_n.<br />
\]

otrzymujemy $ 2^{n+1}x_{n+1} = 2^{n + 1}x_n + 2^{n+ 2} $, więc $ x_{n +1} =x_n + 2 $, $ x_1 = 7 $. Stąd przez oczywistą indukcję wynika, że $ x_n = 2n + 5 $. Wobec tego $ a_n = 2^n(2n + 5) $, $ b_n = 2^{n + 2}-2^n(2n + 5) = 2^n(4-2n-5) = -2^n(2n + 1) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź