XXXV OM - I - Zadanie 12

W kącie trójściennym $ W $ zawarta jest półprosta $ L $ przechodząca przez jego wierzchołek. Dowieść, że suma kątów utworzonych przez $ L $ z krawędziami $ W $ nie przekracza sumy kątów płaskich $ W $.

Rozwiązanie

Rozważmy kulę o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta trójściennego. Miara każdego kąta płaskiego, którego ramionami są półproste o początku w środku kuli, równa jest długości odpowiedniego łuku koła wielkiego (krótszego z dwóch łuków wyznaczonych przez punkty przecięcia danych półprostych z powierzchnią kuli). Wszystkie łuki na powierzchni kuli, o których będziemy mówić w trakcie tego rozwiązania, będą łukami odpowiednich kół wielkich.
om35_1r_img_6.jpg
om35_1r_img_7.jpg
Suma miar kątów płaskich kąta trójściennego równa jest sumie długości łuków $ AB $, $ BC $ i $ CA $, których końce są punktami wspólnymi krawędzi kąta trójściennego i powierzchni kuli. Suma miar kątów utworzonych przez $ L $ z krawędziami kąta trójściennego równa jest sumie długości łuków $ AD $, $ BD $ i $ CD $, gdzie $ D $ jest punktem wspólnym półprostej $ L $ i powierzchni kuli.

Długość łuku (zgodnie z przyjętą umową - łuku koła wielkiego) łączącego dwa punkty na powierzchni kuli spełnia własności odległości (zob, np. R. Courant, H. Robbins, Co to jest matematyka, rozdział VII), w szczególności tzw. nierówność trójkąta

\[<br />
AB + BC \leq AC<br />
\]

Na podstawie nierówności trójkąta długości odpowiednich łuków spełniają

\[<br />
AD + DC \leq (AE + ED) + DC = AE + EC \leq AE+(EB + BC) = AB + BC.<br />
\]

Otrzymaliśmy więc, że

\[<br />
AD + DC \leq AB + BC,<br />
\]

a przez analogiczne rozumowanie możemy stwierdzić, że

\[<br />
AD + DB \leq AC + BC<br />
\]

oraz

\[<br />
BD + DC \leq AB+AC.<br />
\]

Dodając stronami ostatnie trzy nierówności otrzymujemy

\[<br />
2 (AD + BD + CD) \leq 2(AB + BC + CA),<br />
\]

więc

\[<br />
AD + BD + CD \leq AB + BC + CA,<br />
\]

stąd wynika, że suma miar kątów utworzonych przez $ L $ z krawędziami kąta trójściennego $ W $ nie przekracza sumy miar kątów płaskich $ W $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź