XXXV OM - II - Zadanie 2

Na bokach trójkąta $ ABC $ budujemy podobne trójkąty równoramienne: trójkąt $ APB $ na zewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ AP = PB $), trójkąt $ CQA $ na zewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ CQ = QA $), trójkąt $ CRB $ do wewnątrz trójkąta $ ABC $ ($ CR = RB $). Dowieść, że $ APRQ $ jest równoległobokiem lub punkty $ A, P, R, Q $ leżą na prostej.

Rozwiązanie

Rozważmy podobieństwo mające punkt stały $ C $ i przekształcające $ B $ na $ R $ (jest to złożenie obrotu wokół $ C $ o kąt $ BCR $ z jednokładnością o środku $ C $ i skali równej stosunkowi długości podstawy do długości ramienia w każdym ze zbudowanych trójkątów równoramiennych). Podobieństwo to przekształca $ A $ na $ Q $. Wynika stąd, że trójkąty $ ABC $ i $ QRC $ są podobne.
om35_2r_img_8.jpg
Analogicznie stwierdzamy, że podobieństwo o punkcie stałym $ B $ przekształcające $ C $ na $ R $ przekształca $ A $ na $ P $, więc trójkąty $ ABC $ i $ PBR $ są podobne. Wobec tego trójkąty $ QRC $ i $ PBR $ są podobne. Ponieważ $ BR = CR $, więc trójkąty te są przystające, a zatem $ QC = PR $ i $ QR = PB $. Ale $ QC = AQ $ i $ PB = AP $, więc $ AQ = PR $ i $ AP = QR $. Ponadto kąt między wektorami $ \overrightarrow{BP} $ i $ \overrightarrow{RQ} $ ma miarę równą $ \measuredangle PBA + \measuredangle BCR = 2 \measuredangle PBA $, kąt zaś między wektorami $ \overrightarrow{AP} $ i $ \overrightarrow{BP} $ ma miarę równą $ 180^\circ - 2 \measuredangle PBA $, skąd wynika, że wektory $ \overrightarrow{RQ} $ i $ \overrightarrow{AP} $ są równoległe. Wobec tego punkty $ A $, $ P $, $ R $, $ Q $ leżą na jednej prostej albo są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź