XXXV OM - II - Zadanie 3

Dane są ciągi $ (x_1, x_2, \ldots, x_n) $, $ (y_1, y_2, \ldots, y_n) $ o wyrazach dodatnich. Udowodnić, że istnieje taka permutacja $ p $ zbioru $ \{1, 2, \ldots, n\} $, że dla każdego rzeczywistego $ t $ ciąg

\[<br />
(x_{p(1)}+ty_{p(1)}, x_{p(2)}+ty_{p(2)}, \ldots, x_{p(n)}+ty_{p(n)})<br />
\]

ma następującą własność: istnieje taka liczba $ k $, że $ 1 \leq k \leq n $ oraz wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach mniejszych od $ k $ są jednakowego znaku i wszystkie niezerowe wyrazy ciągu o wskaźnikach nie mniejszych od $ k $ są jednakowego znaku.

Rozwiązanie

Obliczamy ilorazy $ \frac{x_1}{y_1}, \frac{x_2}{y_2}, ldots, \frac{x_n}{y_n} $, znajdujemy takie $ j $, że $ \frac{x_j}{y_j} $ jest nie większe od wszystkich pozostałych ilorazów i przyjmujemy $ p(1) = j $. Następnie znajdujemy takie $ k $, że $ \frac{x_k}{y_k} $ jest nie większe od wszystkich ilorazów $ \frac{x_i}{y_i} $ różnych od $ \frac{x_j}{y_j} $ i przyjmujemy $ p(2) = k $ itd.

Wobec tego

\[<br />
\frac{x_{p(1)}}{y_{p(1)}} \leq \frac{x_{p(2)}}{y_{p(2)}} \leq \ldots \leq \frac{x_{p(n)}}{y_{p(n)}}.<br />
\]

Rozważamy dowolną liczbę rzeczywistą $ t $ i porównujemy liczbę $ - t $ z liczbami $ \frac{x_{p(j)}}{y_{p(j)}} $. Istnieje liczba naturalna $ k $, dla której

\[<br />
(*) \qquad<br />
\frac{x_{p(1)}}{y_{p(1)}} \leq \ldots \leq \frac{x_{p(k-1)}}{y_{p(k-1)}} \leq-t \leq \frac{x_{p(k)}}{y_{p(k)}} \leq \ldots \leq \frac{x_{p(n)}}{y_{p(n)}}<br />
\]

przy czym może być $ k = 1 $, tj.

\[<br />
-t \leq \frac{x_{p(1)}}{y_{p(1)}} \leq \ldots \leq \frac{x_{p(n)}}{y_{p(n)}},<br />
\]

albo $ k = n +1 $, tj.

\[<br />
\frac{x_{p(1)}}{y_{p(1)}} \leq \ldots \leq \frac{x_{p(n)}}{y_{p(n)}} \leq -t,<br />
\]

Z nierówności (*) wynika, że

\[<br />
\frac{x_{p(1)}}{y_{p(1)}} +t \leq 0, \ldots, \frac{x_{p(k-1)}}{y_{p(k-1)}} +t\leq 0, \frac{x_{p(k)}}{y_{p(k)}}+t \geq 0,\ldots,<br />
\frac{x_{p(n)}}{y_{p(n)}}+t \geq 0,<br />
\]

a ponieważ $ y_{p(i)} > 0 $ dla $ i = 1,\ldots,n $, więc

\[<br />
x_{p(1)}+ty_{p(1)} \leq 0, \ldots, x_{p(k-1)} + ty_{p(k-1)} \leq 0, x_{p(k)}+ty_{p(k)} \geq 0, \ldots, x_{p(n)} +ty_{p(n)} \geq 0<br />
\]

co kończy dowód.

Uwaga. W dowodzie wykorzystaliśmy jedynie dodatniość wyrazów ciągu $ (y_i) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź