LIX OM - III -Zadanie 6

Niech $ S $ będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które można przedstawić w postaci $ a^2 +5b^2 $
dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych $ a $ i $ b $. Niech ponadto $ p $ będzie liczbą pierwszą dającą resztę
3 z dzielenia przez 4. Wykazać, że jeżeli pewna dodatnia wielokrotność liczby $ p $ należy do zbioru $ S $, to również liczba
$ 2p $ należy do zbioru $ S $.

Rozwiązanie

Na mocy warunków zadania liczba $ a^2 +5b^2 $ jest podzielna przez $ p $ dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych $ a $ i $ b $.

Liczba $ b $ nie jest podzielna przez $ p $; w przeciwnym przypadku z podzielności $ p|b $ oraz $ p|a^2 +5b^2 $ uzyskalibyśmy bowiem
$ p|a $, wbrew względnej pierwszości liczb $ a $ i $ b $.

Zatem żadna z $ p - 1 $ liczb: $ b,2b, \dots ,(p - 1)b $ nie jest podzielna przez $ p $. Ponadto liczby te dają różne reszty
z dzielenia przez $ p $. Istotnie, jeżeli mamy $ p| ib-jb=(i-j)b $ dla pewnych wskaźników $ 1\leqslant i,j \leqslant p-1 $, to liczba
pierwsza $ p $ jest dzielnikiem różnicy $ i - j $, skąd wynika, że $ i = j $. W konsekwencji jedna z rozpatrywanych liczb daje
resztę 1 z dzielenia przez $ p $. Przyjmijmy, że jest to liczba $ kb $ (dla pewnej wartości $ k \in\{1,2,\dots ,p- 1\} $). Wówczas
mamy

\[<br />
p| k^2(a^2 +5b^2)=(ak)^2 +5(bk)^2,\quad \text{czyli} \quad p| m^2 +5, \quad \text{gdzie} m = ak.<br />
\]

Niech $ z $ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $ p $. Rozpatrzmy zbiór reszt z dzielenia liczb
$ 0, m,2m, \dots , zm $ przez $ p $. Uporządkujmy te $ z +1 $ reszt w kolejności niemalejącej otrzymując ciąg
$ r_1 \leqslant r_2 \leqslant \dots \leqslant r_z+1 $. Wtedy każda z $ z +1 $ liczb:

\[<br />
r_2 - r_1, \; r_3 - r_2,\; \dots , r_{z+1} - r_z,\; p- (r_{z+1} - r_1)<br />
\]

jest nieujemna, a ich suma wynosi $ p $. Wynika stąd, że przynajmniej jedna z tych liczb jest nie większa niż

\[<br />
\frac{p}{z+1}=\frac{(z+(p-z))^2}{z+1}< \frac{(z+1)^2}{z+1} = z+1<br />
\]

Zatem wśród liczb $ r_2 -r_1, r3 -r2, \dots , r_{z+1} -r_z , p-(r_{z+1} -r_1) $ można wskazać liczbę nie przekraczającą
$ z $. To zaś oznacza, że pewne dwie różne liczby, powiedzmy $ cm $ i $ dm $ ($ 0 \leqslant c,d \leqslant z $), dają przy dzieleniu
przez $ p $ reszty różniące się nie więcej niż o $ z $, albo różniące się przynajmniej o $ p - z $. Przyjmijmy $ y = |c - d| $;
wówczas jedna z liczb $ ym, -ym $ daje resztę $ x \leqslant z $ z dzielenia przez $ p $. Ponieważ $ p | m^2 +5 $, więc liczby

\[<br />
x^2 +5y^2 \text{ i } x^2 - m^2y^2 =(x - my)(x +my)<br />
\]

dają taką samą resztę z dzielenia przez $ p $. Jeden z czynników $ x - my, x+my $ jest jednak podzielny przez $ p $.
W efekcie $ p | x^2 +5y^2 $. Ponadto $ 0 \leqslant  x \leqslant  z $ oraz $ 0 \leqslant  y \leqslant  z $, co w połączeniu
z nierównością $ z< p $ daje

\[<br />
x^2 +5y^2 \leqslant 6z^2 < 6( \sqrt{p})2 =6p.<br />
\]

Stąd wniosek, że $ x^2 +5y^2 $ jest jedną z liczb $ p,2p,3p,4p $ lub $ 5p $.

Równość $ x^2 +5y^2= p $ oznaczałaby, że liczba $ x^2 +5y^2 $ daje resztę 3 z dzielenia przez 4. To jednak nie jest możliwe,
gdyż liczby $ x $ i $ 5y^2 $ dają reszty 0 lub 1 z dzielenia przez 4. Zatem $ x^2 +5y^2 = p $. To dowodzi także, że nie mogą mieć
miejsca równości $ x^2 +5y^2=4p $ ani $ x^2 +5y^2=5p $. Pierwsza z tych równości oznaczałaby bowiem, że liczby
$ x $ i $ y $ są parzyste (w żadnym innym przypadku liczba $ x^2 +5y^2 $ nie jest podzielna przez 4) oraz
$ (\frac{1}{2}x)^2 +5(\frac{1}{2}y)^2 = p $; druga równość prowadzi natomiast do wniosku, że $ 5|x $ oraz
$ y^2 +5(\frac{1}{2}x)^2 = p $. W obu przypadkach dochodzimy do sprzeczności z udowodnionym wcześniej faktem, że liczba postaci
$ ^2 +5f^2 $ jest różna od $ p $ dla dowolnych całkowitych wartości $ e $ i $ f $.

Stwierdziliśmy w ten sposób, że $ x^2 +5y^2=2p $ lub $ x^2 +5y^2=3p $.

Przypuśćmy, że $ x^2 +5y^2 =3p $. Wówczas liczby $ x $ i $ y $ nie są podzielne przez 3 (w przeciwnym razie mielibyśmy
$ 3|x $ oraz $ 3|y $, jednakże wówczas $ 3^2| x^2 +5y^2=3p $; co może się zdarzyć jedynie w przypadku $ p = 3 $, ale wtedy
uzyskujemy następującą sprzeczność: $ 9=3p =x^2 +5y^2 \geqslant 3^2 +5\cdot 3^2 =54 $). Zmieniając ewentualnie znaki
liczb $ x $ i $ y $ możemy przyjąć, że $ x $ i $ y $ są liczbami całkowitymi dającymi resztę 1 z dzielenia przez 3. Ponadto

\[<br />
18p =6\cdot 3p = 6(x^2 +5y^2 )=(x +5y)^2 +5(x - y)^2.<br />
\]

Liczby $ x+5y $ i $ x-y $ są podzielne przez 3; jeżeli więc $ x+5y =3g $ oraz $ x-y =3h $, to z powyższej równości wnioskujemy,
że $ 2p = g^2 +5h^2 $.

Ostatecznie udowodniliśmy, że liczba $ 2p $ daje się przedstawić w postaci $ s^2 +5t^2 $ dla pewnych liczb całkowitych
$ s $ i $ t $. Pozostaje zauważyć, że w takiej sytuacji liczby $ s $ i $ t $ są względnie pierwsze; gdyby bowiem miały one
wspólny dzielnik pierwszy $ q $, to uzyskalibyśmy $ q^2 | s^2 +5t^2 =2p $, co prowadzi do sprzeczności, gdyż
$ p $ jest nieparzystą liczbą pierwszą. Zatem dowód relacji $ 2p \in S $ jest zakończony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź