XXXV OM - II - Zadanie 6

Ciąg $ (x_n) $ określony jest wzorami

\[<br />
x_1=c,\; x_{n+1} = cx_n + \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)} \quad\text{ dla }\quad n=1,2,\ldots<br />
\]

Dowieść, że jeśli $ c $ jest liczbą naturalną, to wszystkie liczby $ x_n $ są naturalne.

Rozwiązanie

Wyrazy $ x_1 = c $, $ x_2 = 2c^2 - 1 $ są liczbami naturalnymi.

Załóżmy dla pewnego $ n $, że wszystkie wyrazy $ x_k $ przy $ k \leq n $ są naturalne. Udowodnimy, że $ x_{n+1} $ jest liczbą naturalną. Z danego wzoru wynika, że

\[<br />
x_{n+1} -cx_n = \sqrt{(c^2-1)(x_n^2-1)},<br />
\]

więc

\[<br />
(*) \qquad(x_{n+1}-cx_n^2) =(c^2-1)(x_n^2-1)<br />
\]

i podobnie

\[<br />
(x_n-cx_{n-1})^2 =(c^2-1)(x^2_{n-1}-1).<br />
\]

Z ostatniej równości otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
x_n^2 - 2cx_n x_{n-1} + c^2 x^2_{n-1} =c^2 x^2_{n-1} - c^2 - x^2_{n-1}+1,\\<br />
x_n^2 + c^2 - 1 = 2cx_n x_{n-1} - x^2_{n-1},<br />
\end{split}<br />
\]

a po odjęciu obu stron od $ c^2x^2_n $

\[<br />
c^2 x_n^2 -x_n^2 - c^2 + 1 = c^2x_n^2 - 2cx_n x_{n-1} + x_{n-1}^2,<br />
\]

czyli

\[<br />
(**)\qquad (c^2-1)(x_n^2-1) = (cx_n - x_{n-1})^2.<br />
\]

Porównując (*) i (**) stwierdzamy, że

\[<br />
(x_{n+1}-cx_n)^2 = (cx_n - x_{n-1})^2.<br />
\]

Ponieważ ze wzoru określającego ciąg wynika, że $ x_{n+1} \geq cx_n $ oraz $ cx_n \geq x_{n-1} $, więc

\[<br />
x_{n + 1} - cx_n = cx_n - x_{n-1},<br />
\]

a zatem

\[<br />
x_{n+1} = 2cx_n - x_{n-1}.<br />
\]

Na mocy przyjętego założenia indukcyjnego liczby $ x_n $ i $ x_{n-1} $ są naturalne, więc liczba $ 2cx_n - x_{n-1} $ jest całkowita. Jest to ponadto liczba dodatnia, a więc $ x_{n+ 1} $ jest liczbą naturalną.

Na mocy zasady indukcji wszystkie wyrazy ciągu $ (x_n) $ są liczbami naturalnymi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź